Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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20 Reprendre los calculs en placant l'origine des coordonnkes
an point J.
II. -- Inter pl-tation' des solutions &trange'res. Les pointssolution Atrangers apparus prdc~demment en me'me temps que
les points cherch~s P1 peuvent-ils s'interpr~ter commo des
points de Pappus proprement dits?
S'agit-il de ceux qu'introduit le faisceau rect~iligne concourant
en 0, la r~ponse est facile. Si le faiscean est associ6 avec le
cercie foudamental, les points Atrangers so, pr~sentent comme
los 'sym6triqnes des points. v~ritables P1 par rapport aL 0 et
s'intoripretent comme 6Ata-nt aL leur tour des points de Pappus
relatif s aux me'mes 6l6ments graphiques x1Ox, yi0y et metriques
a, 1, exception faite pour l'6A.hment graphique A, que l'on
rerupianera par son sym~trique. Si le faisceaul est associ6 avec,
l'hyporbole fon~damentale, le seul point 6tranger est le point
quadruple 0 qu'on pent, a la limite, quand a et 1 tendent vers
zdro, consid~rer comme un point de Pappus unique. Des deux
quadrilat~ros do Pappus Atrangers, lFun a conserv6, lo s dimensions primitives, l'autre s'est r~dnit a, un point.
S'aIgit-il maintenant do coux qu introdnit le faiscean parall~le
A Ox', la response reste encore ais6e. Si on l'assopio an corcle, la
droite Oy' sort d'akoe do sym~trie commun an faiscean et an
cercie, do sorte quo los points Atrangors sont los sym~triquos des
points P1 par rapport A Gy' et deviennent points do Pappus
(ftland on change sonlement A on son sym~trique. Le quadrilat~ro constitnd coincide avec le pr~ec-,dent, los sommets homologues no coincidant pas, mais 6tant sym~triques relativement.
aL Ox'. Si on associe le. f aiscean. a_ 'hyperbole, c'est la m~diatrico
doe OA qui sort d'axe commun do sym~trie:par l'Achange do 0
et-do A, los points Atrangers deviondront poiiits do Pappus.
S'agit-il dn faiscoan parallele a Gy, si on lui associe le cercle,
c'ost Ox qui sorvira d'axe do sym~trie commun et A devra. so
romplacer par son sym~trique dans l'interpr~tation dos solutions
6trang~ res;si on Ini associe lFhyperbole 7le soul point Atranger
coincide avec le point aL linfini sur Qy et l'interpro-'tation tombe
on d~faut.. Do m('ine ponr le faiscean paralklel a Ox.
Mais faisons appel an couple des parail-los a Gy' portant los
bases du trapeze *supposees r6elles. En l'associant avec le
faiscean do sommet 0, un nouveau trapkze isoce'le s'introdnit
do ni'~mo hantour, 2h, quo le trapkze fondamental. Pour reconnaitre s'il est on non un quadrilate'ro do Pappus, calculons sOs
bases 213', 2b'
A IAR 0GE Re Prohi. de Pappus. 8