Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

III

seront ddterminbs d'une inanie're univoque par cinq 6quations,
linbaires, dont les quatre premi~1?es s'obtiennent en substituant.
aL X, y les coordonnb~es (x,, Yi), (X2, Y2)," des quatre sommets
dans 1'quation gbnbrale correspondante, et dont la cin~quieime
s'exprime par A +~ C =0). De plus, l'hyperbole passe par le
centre du cercie, et ce point sert de sommet a la conique.
Montr~ons, rbciproquement, que cette condition nbcessaire,
sera suffisante, en faisant abstraction toutefois de la deuxiebme~
partie:position du centre, qui dbcoule de la premilwe du fait
que I'axe de sysmitrie du trapkze sert d'axe coramun aux.
courbe's. En effet, adoptons comme origine le milieu de JJ et,
cet axe de svmdtrie, orientb de J vers I, comme axe des abscisses.
Les coordonnbes de P., P' seront (h, b), (- h, B). Les 6quations
du cercie et de l'hyperbole circonscrits au trapeze seront, en
tenant compte de la syme'trie,
X2 + Y2 - 2xX ~4 j ~0, X2 -Y2 - 2)'X -+- 0,
oii?, et:k' dbsignent les 'abscisses des centres.
Exprinmons que les courbes contiennent les sommets, 'I vient
h2 ~b2 - 2h + 0, h2 +12 ~~-2)h ~+ 0,
2-b2-2?,'h +n z0, h2-B2 + 2k'h ~'z0.
Exprimons que l'hyperbole contient le centre (X,0) du cercle;
ii vient x - 2x'x) + vK 0.
On tire aisbment, des quatre premibres relations,
b2 -B2 B2-b2 /B 2 -+-b2
4h '4/h 2
En portant dans la cinquibine, on obtient
(2 - 2)2 (12 - 2)2 B2 + 2
'16h2 ~ 8h2 2 0
C'est-.a-dire f(B, b, h) ==0, et, de's lors, on retombe sur I'tude.
prbc6dente. Enoncons,
The'orernie. -Poar qa'uan trapeze isoce'le soit an aaladrilate're
de Pappas, ii faat et ii saffit qae le centre da cercie cireonserit
appartiennie et 1'hyperbole &qailate're circonscrite".f
ExERCICE. - Justifier que toute conique circonscrite a un
trapeze isoc~le admet son axe de symbtrie comme l'un de ses
propres axes.
Un rapprochement d'6galit6s permet d'6crire x 4-V 0,
signifiant la symbtrie des centres du cercie et de l'hyperbole par~