Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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110 P~~~EUXIEME PARTIE

132 -b2
xy 7=a(x -+ y) on mieux xy 2hV (x +y). La premnibro
re'Vienta
(B32 b2 _132 b 27 (B2 -b 2)2
16h2 22 8/i2
et par suit a / =0.
EXEIRCICE.- Prouv\,er la deuxibrne relation.
De eette double 6tude, directe. et inverse, rbsul-te
Th'or'me. -Pour qa' an trap'ze isocie soit an qaadrilatr
de Pappats, il /aat et il sa/Jit qae ses bases et sa hatttear o~rifient
la relation j 0.
Voici d'ailleurs sa dbtermination graphique a l aide d'une
construction rbgle-cornpas. On se donne arbitrairement deux
longueurs B, b et on construit h, tir6 de la formule qui provien't
de jasavoir
(2h)2 - 32 +b 2 2VB34 ~ b4 - B2b2.
On a recours a 1unit gra-phique at et l'on pose 132 tID1,
(2h) 132 -, b2 + 2 ti\/B2+ b_:_- 32.
On rbalise graphiquement VmB + b 2 - p 2 y, 2y == et
par des constructions, toutes dbsormais connues, donnant B1,
b1, P3, y, a, on parvient a la construction simple de 2h, fourni
par (2h)2 B 2 4-b 2 +H a
On pourrait aussi bien se donner arbitrairement deux longueurs a, 1 et construire B, b, h exprimdes en fonction de ces.
longueurs par les formules ci-dessus; une condition de possibilitb, 1 > 2a\/2, sera dans cc cas indispensable.
EXERCICE. - Si lFon partait des cbtbs B, b, c du trapbze,
quelle serait la condition caractbrisant le quadrilatebre de
Pappus?
Cherchons en deuxi~me ligne une caractbristique d'ordre
gbonmhtrique.
Portons dans cc but notre attention sur le triplet (ensemble
de trois 616ments, en gbnbral) constitu6 par le trapbze isoc-Ole,
le cerele et l'hyperbole 6bquilatre des points P,. Or ebtant
donnd un pareil trapbze, il existe un cerele et nn seul qui ui.
sicirconscrit do mebme une seule hyperbole 6quilatbre (car les.,coefficients A, B, C, D,... de sa orine AX2+2Bxy -H-Cy2 —+-2Dx-I-.. —