Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINGTIEME SOLUTION

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Note. - Posons x' = I cos o', y' I sin o', il viendra
/f( cos co, I sin co') = 12cos22 co' 42Cos 2 co - ao -_ 0.
2a2
On aura successivement cos 2 co' -- (a - 2 12),
LX _ IE 1 + Cs 2 - \i//l - 2a2 -- 2ai'a212,
J' 3 3 12 2a2 - a2 2 2aiV/a2 -+ 12.
/2
Variante. - En vue de constituer un nouveau systeme
d6rive, obtenons le faisceau homogine rectiligne par la m6thode
de la variable d'homogeneit6. Nous completerons les 6quations
fondamentales, qui deviendront
x'2 ~_ y'2 = /12, x'2 -_ 2 2a2 x z'.
7,2 _ y'2
Nous isolerons z' = - et, par substitution, nous
2av/2 x'
J2(X'2 __ y2)
8a2x 2
aurons x 4 y=1 - Y ) d ot (x', i,) 0.
Le nouveau systeme s'ecrira
x 2 y 2 = 2a/2 xi, = 0.
A l'aide de y' = t'x, on obtiendra F('), ainsi que
X' [x'(1 - t2) _2a/2] = 0,
se d6composant en x' 0, d'oii y' 0, et en
2aV'2, 2a /2 t'
X I t12' dO y I -'2
La valeur d6finitive de x', a savoir
~____ ~ ~\(a -- s"v'a2 — l2)
a s"- V^a2 - I2
et mieux -, nous ramenerait au couple parallele
a Oy' d'6quation particulierement r6duite
2x'2 - 2a\2 x' - 12 -- 0.
Note. -- Ce retour constate, nous saurions constituer un
systeme doublement d6riv6 uniquement rectiligne dans lequel,
en outre de f, un faisceau parall6le aux axes remplacerait la
conique fondamentale qui figurait jusqu'ici au systeme simplement d6rive. De nouveaux points' trangers apparaitraient