Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PARTIE

lettre z, dite variable d'homogeniite, puis a eliminer z par les
proce6ds ordinaires.
Exemple: Cherchons le faisceau homogene relatif a
xa2 4 2y2 - 4x =1, 2x - y. 3.
On 6crit x2 - 2y2 - 4xz - z2 0, 2x- y -3z = 0 on
2x - y 1
tire z - J, d'ou lon deduit
3
4 (2x-y)2 -0.
x2 - 2y - - x(2x ) _ (2- _ 0.
EXERCICE. - A quelle condition la droite 2x - y =
est-elle tangente a la conique donnee?
Cela pose, traitons la solution actuelle a partir de
x'2 + y12 __ 12 x'2 - y'2 2aV'2x'.
La combinaison deja trouv6e intuitivement est encore
realisable: 616vation au carre de ]a deuxieme egalite et multiplication en croix. On obtient
8a2x'2(X'2 1 y'2) = 12(zx2 - y'2)2
ou (x', y') (2 - Sa2)x'4 + 12y4- 2(12 + 4a2)x'y'2 = 0.
Le syst6me d6riv6 sera par exemple x12 ~_ y'2 - 12, f = 0.
Pour le resoudre, on posera y' t'x'l; donnera lieu it
F(t') 2t'4 - 2(12 -4- 4a2)t'2 + 2 - 8a2 0,
dans laquelle on reconnait la transform6e en - de la r6solvante (E2) de la IIe solution.
Une fois t' calcule, on aura
7 It'
' _ tf2' _ - t/2
ILa discussion portera essentiellement sur F et revient a
discuter (E2), ce qui a 6et fait. On tiendra compte des solutions
6trangeres.
Quant aux valeurs des inconnues en fonction de a, 1, elles
sont donnees par
t' = \/2- 4a2 -+ 4a/\/ia2 + 12,
~\/;2 \;12 4- 2a2 + 2a~"Via2 - 12
1 /' 2 T 4a2 + 4asV'az 2?I -\2 2 1 22 a-,- a"- '\ t 2a a