Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIX-K.NLE-U-VIME SOLUTION10

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XIXe Solution
Mfthodologie. - Les f aisceaux rectilignes pr6c6dents paral1l1es aux axes respectifs de coordonn~es peuvent itre considi~r~s
comme concourants en un point rejet6 ~L linfini. Par analogie,
nous allons determiner le faisceau des droites contenant chacune un point P1_ et l'origine 0, qui sera d~s lors le sommet
du faisceau.
Partons de X2 2y= 12, xy a (x +y).
Puisqu'une droite passant par l'origine a pour premier
membre une orine lin~aire homog~ne en x, y, un ensemble
de ndroites de cette esp~ce correspondra ~ une forme homog~ne
du ne degr6. lei it 4, de sorte que nous devons rechercher
une combinaison convenable des relations fondamentales produisant le Ale degr6. On est conduit intuitivement A 6lever la
deuxi~me au carre, ce qui donne -2q a2( ),pi
multiplier en croix la. premiere et 'la relation obtenue. Les degr~s
se compensent en quelque manikre et l'on obtient
a2(X2 ~ yl) (X + y)2 -lI2x y2.
D6veloppons;on a
i(x.y - 2(X4 +y4) ~ 2a 2X3y ~2a 2Xy3 +- (2a 2 - 12)X2y2 -0.
Le syst~me d~riv6 sera, par exemple,
Pour le r~soudre, posons - t l'Nquationf 0 pent
s '6crire
F) a2t4 +22t3 + 22 1 2)t2 -1 2a 2t + a 2 0.
On reconnait in transform6e en -m de N'quation (E,) de
la ire solution on devait s'y attendre, puisque - n'est
x
autre que le coefficient angulaire de 8. Une fois t calcul6,
on aura x(i t)-J d'o on
1 ~~~~~~~~~~I t
t 2' t2'
La discussion portera uniquement sur F ou inieux, car elle
a Wt faite prdc6demment, sur (El). Les valeurs de x, y seront
en eff et r~elles, d~s que t sera r(,el. Du point de vue g~om&trique,
ce r~sultat se met do suite en 6vidence, puisque toute droite
du faisceau est diam6trale.