Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIX-HUITIEME SOLUTION 9

99

reproduit lIe faisceau /1. On en d6duit (a posteriori) l'identit6
suivante qui, ~ la riguour, permettrait do r6soudre f, 0
4- 2ax3 -i — (2 a- -12)XI2 + 2al2X- a212
Lx2 ( V) x+ a (a/)][X2 -(a +!) x a (a4 )
XV1II0 Solution
Me'thode. - Cest celle qu'on vient d'ut iliser. On rapportera
les lieux primnitifs de P1 aux axes x'Oy' et on en d~rivera les
deux faisceaux rectil ignes paralle'les & ces axes. Le faisceau
paralblel a Oy', qui r~guli~rement est biquadratique carr6
parfait, sera ramen6 aL un couple, ce qui r~duit les huit points
doubles d'intersection a huit points simples. Ii faudra op6rer
la separation de ces points en solutions proprement dites et en
solutions 6trange'res.
Le syst~me, doublement diriv6 du cercie et do l'hyperbole
comportera
1x.) 2x '2 - 2aV2 XI - 12,
12(Y) 4y4-Y 4(12 - 2a2)y'2 +12(12 - 8a 2).
La risolution complite do 1I, 12 donne commo coordonn6es
des huit points
I a +e~ 2+ 12 12-2a2 + 2ae'v'a2 4-t12
ofh Z, ell 1' figuront s6par6ment ~.
11 reste aL fixer les signes. Par exemple, en vue do d6finir P',
on choisira - 1, puisque l'abscisse est negative, puis
-+ '1, puisque l'ordonn6e est positive, et finalement
- +,puisque l'ordonn6e do P' surpasse comme on sait
cello do P1 r~pondant A s' - 1
ExERCTCE. -Dossiner los six droites c hoisir los signes pour
los trois autres points situ6.s sur la parall~lo a~ Oy' contonant P1.
Note. -- Pout-on r6duire to nombre dos doubles signes, autremont dit pouit-on supprimnor une des lettres s, El s" i et rondro
la s6paration qu'on vient d'envisager explicite.?, A cot eliot,
i~ propos des points-solution v~ritables, observons q'uo la
combinaison V' ~y2dolt e'tre rationnelle en a, I (on rotrouve
[2.Or lo radical double disparai't dans y'2; i est n6cessaire,