Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

I
PREFACE

VII

un cercie roule a l'int6rieur d'un cerele de rayon double. Tons
le's points du plan P d6erivent des ellipses et c'est aussi ce monvemnent que r6alisent les ellipsographes. Chaque fois que, dans le
mouvement, la droite MN vient aL passer par le point A, fixe
dans le plan P', nons obtenons une solution du probl~me de
Pappus. Pour un observateur entrain6 avec le plan P, le plan PT
est anim6 d'un mouvement tel que deux rainures de ce plan
glissent contre deux, cons M et N fixes dans le plan P. Ces mouvements de chacun des deux plans P et P' par rapport a l'autre
sont des m ouvements inverses de Darboux. Deux mouvements
inverses sont alg,6briques en me'me temps,, et,. dans ce cas, le
degr6, de la trajectoire d'un point dans l'un des monvements
est 6gal a la classe de l'envleloppe d'nne droite dagas le monvement inverse,. Chaque fois que le point A rencontre ici la droite
MN, nobus avons une solution du probl~me de Pappus, auquel
on peut donner un nonvel 6nonc6' ge'om6triquie convenant a
lPobservateur entrain6 avec le plan P. On petit aussi rattacher
le probleme de -Pappus an mouvement d~fini par un segment
MN qni s'appuie sur un point fixe A et dont une extr6mit6
glisse sur une droite fixe, mais revenons A la g~om6trie.
Pour determiner la droite de Pappus, il suffit de tronver un
point, attach6 a la figure,, dont la position entraine celle de la
droite. En g~n6ral, ce point sera obtenu par l'intersection de
deux lieux g6om6triques et, en variant le choix du point et
celni des lieux, nous serons conduits a des courbes dont l'6tude
sera des plus fructueuses. Soumettons la figure ah une transformation simple: homographie, inversion, transformation quadratique; 1'6tude du probledme, transf orm6 nous f ournira 1Foccasion d'apprendre la generation et les propri6t6s de courbes nonvelles et int~ressantes.
D'importantes th~ories viennent -ainsi se rejoindre an probbme de Pappus. M. Maroger n'a examin6 dans le present
ouvrage que cert-aines d'entre elles et s'est occup6 plus particulie'rement de celles que j'ai cit6es en dernier lien. C'est que
lFanteur a tenu A garder son sujet ah la mesure de son jeune
anditoire, sons les yeux duquel il d~sire faire passer de nouveau
les 616ments de 1'alge'bre et de la g~om6trie analytique, Afin de
le rompre a leur m6canisme.
Joseph Bertrand disait volontiers, qu'il se faisait fort. de
classer les candidats aL une grande Ecole en les interrogeant
tons sur les cas d'6galit6 des triangles. M. Maroger s'est propos6
de les pr6parerih cet examen en se servant d'nne seule question.
Le lecleur verra a' parai'tre successivement les modes de r~so