Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

98

DEUXIEME PARTIE

guer les veritables solutions. Rappelons a ce propos les formules
/.' a!I 7321\ -;,;~II~~ ~ a +r- ~\Va2 + l2
x==, y-a(l ---), y=a(- ), s= — -ou ~= —1,
a
_s + 'Vs2 - 4 - s - 2 - 4?i ==u -— e --- U ~ = 1 =- ---
2 m 2
Adoptons pour abreger les symboles V, V/V pour d6signer /a2 +- 12, \/12 - 2 a2 + 2a\/a2 + 12, nous trouverons
a-~\ + sv a-s\/ - S
2 ' 2
Par exemple, s'il est question de P', P" se trouvera sur A",
in,-, s = m +- seront positifs et on aura s + 1, et comme
mn m
m est inf6rieur a - on aura S -- -.
EXERCICE. - Dessiner les huit droites trouver les signes
de o, S' pour les points etrangers situ6s sur la parallele a Oy
par exemple et passant par P'.
Variante. I1 nous est loisible de reconstituer le systeme
deriv6e /, /2 0, a partir du systeme bi-irrationnel que
representent les 6galites donnant x, y.
Ainsi, 6crivons 2x - a -- ~\/ = '\/'. Une premiere 6levation au carr6 (qui a pour effet de supprimer la separation d'un
point quelconque Po et de son symetrique relatif a OA) fournira
X2 ax -+ a2 = (a - x) \. Une deuxieme 6e6vation detruisant la distinction entre P1, Po et P', P." fournira f, =0.
Dans ces conditions rien n'empeche de former un nouveau
systeme deriv6 de lieux rectilignes: on conserve /12 faisceau
biquadratique, et on lui adjoint les couples
x2 - (a - V )x + a(a - ) 0,
z prenant ses deux valeurs.
EXERCICE. --- Obtenir la somme des inverses des racines des
equations correspondantes d'inconnue x. Expliquer le r6sultat.
Note. - Donnons a ~ ses deux valeurs c+ 1, deux couples
de droites paralliles a Oy en resultent et leur association