Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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94 ~~~DEUXIEME PARTIE

Appuyons-nous pour cola. sur une propriWt rem~arquablo du
risultant:son invariance (ou sa multiplication par une constante) lorsqu'on substitue aL lune des f ormes /(x), cp (x) la f ormo
dGriv6e, f + ), y, oAi? d6signe une constante arbitraire. Ainsi,
en substituant aL / la f orme f + )~cle nouveau r6sultant sera
[(a +X a') c' -- (c + X c') a'r2 - [ (a +?, a') b' - (b - b)a']
[(b +t 2 b')c' -(c -+?,c) ]
C'est-&-diro l'ancion r6sultant
(ac' - ca' )2 - (ab' - ba') (be' - cb').
On fera le calcul quand la substitution porte, sur y.
11 en rbsulte que si los doux coniquos /1_(x, y), 12(x, y) ont leurs
points communs sur deux parallbles aL Ox, on a le droit, en vNue
do former leur r6sultant F(y), de substituer aL 1'uno d'oilos, la
secondo par exomple, l'ensemble do cos droites, rbpondant,.A une
combinaison particulibre ~-.2 Ecrivons donc
/2(X, Y) C'y2 + 2E'y + F',)
co qui roviont a poser A.' - B' - D' -:: 0. Si noues cahlcoIons F(y), on obtient
F(y) - A2(C'y2 ~-j 2E'y + F')2,7
A savoir le couple rectiligne parallelo a Ox, 6lov6 an carrc. sl
notis calculons x, on obtiont
~ A(C'y2 ~ 2E'y1 +~ F') 0
car yi est racine. do F(y).
Cette, exception so rbalisera entre autros quand, Oy sorvira
d'axe, do symbtrio a! la fois aL /3 o o t a /12 0. On en sera
quitto alors pour employer lo couple rectiligne des sbcantes
communes et l'une des 6quations primitives donnant le carreb
do l'abscisse.
Remarquons enfin qu'on pent 6changor dans tout ce qui
Precede los rbles do x et do y.
XVIe Solution
Mfthodologie. - Nous employons Ia m~thodo do la racirie
commune, mais dans le soul cas oui elle produit une, solution
vraimont nouvell, c'ost-a~-diro lorsque le cerele, et l'hyporbolo
dquilatbro, lioux fondamontaux do Pp sont rapportbs A x'Oy'