Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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Uni point commun i~ ces courbes aura ses coordonudes x,, y1
qoi seront racines communes A 11 et /2* Par suite, l'abscisse
r~pondra ~tla formule
__ x, A(C':yli- 2E'y1 F) - A'(Cyl 2Eyj i F)
(F) ~ ~2[A(B'yl D') -A'(By, -,- D)]
et l'ordonnke i ]'6quation biquadratique F(y) 0, obtenue
en annulant le r6sultant de 11 et 212 consid6r~s comme des
trinomes quadratiques en x.
Supprimons 1'indice et concluions en donnant la r6ponse ~L la
question ci-dessus pos6 e:tout point de rencontre de /1 0,
12 -0 aura comme ordonn6e une racine de F -0e om
abscisse la valeur correspondante tirke de (B).
Voici, d'un autre coW l'interpr6tation g~om6trique des calculs.
La formule (E), ~ la condition de voir dans x1, Yi des coordonn6es courantes,7 signifie I'6quation d'un ]ieu d~riv6 de /1 et 12*
Ce lieu, en supposant AB' - BA' 7L 0, est une hyperbole dont
une asymptote est la parallie ~ Ox d'ordonn6eDA A'
AB' - BA"7
qui annule le d6nominateur de x, et dont l'autre asymptote
repond A l'6quation x Icky + ', une fois qu'on a 6crit, apros
Ic +Ic +(A13' -BA')y + AD' - DA'
Par suite, le systlme g6om~trique fondamental /1 0,
/2= 0 donne naissance an systi~me doublement di~riv6 F(y) 0,
E(x, y) =0, compos6 de l'ensemble rectiligne parallkle & Ox et
d'une hyperbole (oblique). Ce syst~me n'est pas Equivalent an
premier, car en plus des quatre points co mmuns aux coniques
proposies il posslde en commun quatre points A I'infini sur Ox,
confondus, d'ailleurs en un seul. Au point de vue purement
graphique, ces derniers points 6trangers n'interviennent pas.
N~ote. - La m6thode de la racine commune unique tombe en
d6faut Si les points d'intersection de /I_, 12 sont distribu~s sur
deux droites, parall~les A Ox; a priori, on pr6voit que F(y) se
r~duira A une forme quadratique, 6lev6,e an carre et que le
second membre de (E) donnant pour 1'abscisse deux valeurs,
correspondantes A une me'me ordonn6e, an lieu d'une, se pr&0
p osteriori.