Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

92

92 ~~~DEUXIEME PARTIE

Th~orehne. -La droite qui joint les milieax des c6t~s non
paralle'les de ce trape'ze est la paralidel fixe et Gy' d'abscisse
(ou rn~diatrice de GA) quand a reste constant et 1 carie.
On retrouverait la me'me droite si ofl intervertissait les ro'les,
de 0 et de A et si on substituait a Ox, G y les paraflleles respectlives AX, AY. Nous reviendrons pins tard. Sur un pareil 6change.
DIGRESSION
Metho de de la racine commune. -Sauf dans le cas ofi les.
lieux fondamentaux pr~sentaient nne sym~trie commune
relativement a un axe coordonn6, le syste'me rectiligne, biquadratique parallile a l'nn des axes de coordonn~es a introduit
des solutions 6trangires. Pent-on reconrir 'a un procWd, rattach6, a la m6thode generale de combinaison des lieux repr6 -sentatifs, mais particularisi de faqon i~ 6viter de telles solutions?
Revenons auparavant an r6snltant de
1(x) - ax2 + bx +c, y(x) ==a'X2 +b'x +-, c',
et, puisqu'e c'est la condition d'existence d'une racine commune
qui est en jeu, retrouvons cette condition par une m~thode
mettant initialement en Piwidence cette racine.
La racine commune, Soit xi, annulant 1 et cp, annulera I a
conmbinaison - a'f acp (ab' -MaIX -v- ac' - ca', et ne,
at- ca'
pourra etre que XI, ab' ba'
Mais on aura aL la fois f(x1) -0, cp(x1) - 0. Le calcul conduit
iila me'me condition
(act ca' )2 -(ab' - ba') (bc' -cb') =0,
oii le premier membre _n'est autre que le r6sultant de f, cp.
D'ailleurs,7 an point de vue de ]a recherche de x1, on a le droit
de rempiacer le systeime /0, cp- 0 par le systime, d~rivi6 0,
- a'f +~ ap - 0, on indiff 6remment par CR 0, -a'f +4 ap 0,
de sorte que la valeur de x, et sa condition de communauti,,
se pr6sentent tout naturellement.
Cela pos6, repreno'ns deux coniques fondamentales
f1(x,y) - Ax + 2(By + D)x + y+ 2Ey -
12(x,y) - A 'x2 ~..- 0.