Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUIJNZIEME SOLUTION 8

OCI
OZ7

Dans l'un et dans l'autre cas on sait trouver par la r~gle et
le compas les, longueurs que mesurent les valeurs absolues,
de x', y'. Sans faire intervenir l'abscisse on pent aussi d6terminer le point-solution comnme point de rencontre d'une droite,
et, soit d'un cercie, soit d'une hyperbole, a l'aide d'une construction r~gle-compas.
N~ote. - Il n'est pas indispensable d'adopter les axesx'y
pour d6gager le f aisceau rectiligne pr6c6dent. En eff et, modifions.
le syst~me alg~brique fondamental en x,y en 1'6,crivanit
(x — y)2 -I-2xy -12, x2y2 a2(X y)2 — a2[(X- y,)2 + 4Xy,]_
L'6limnination de xy produira, tous caiculs faits,
(X- y- 2(12 - 2a 2) (X y) 2 ~ 12 (12 - a 82) -0,
qui repr6sente bien un ensemble de quatre, parall~les a Ox'.
Leur separation et la discussion de 1'intersection. avec le
cercle constituera une, varian'te nouvelle.
Note. - Si l'on rapproche les valeurs trouv~es jusqnu'ici
pour x', on constate une complication croissante dans leur
expression irrationnelle. A cet 6gard une r~duction notable se
produit avec la premi~re forme x' -, \asi l'on
a v2 ~12
slastreint A calculer x' qui se sym~bolise par -va____
Pareillement avec la derni~re forme, l'expression xi' ay;2
se r~duirait a un seul radical en apparence du deuxi~me ordre
-~~~ -+- 2 2 ~ a Va2+l
Au surplus ces diverses forrues sont ~quivalentes:bicn quo
la verification des 6galit6s, bi-irrationnelles qui en r6sultent
slop~re aishnent, nous lui prf6frerons l'expos6 rapide suivant
d'une question classique qui nous sera souvent utile.
Soit VA ~ yB A et B f onctions rationnelles de certaines
lettres a, b,' c,... et s ~I. A quelle condition aura-t-on
1'6galit6 de reduction V A ~i s \/B ~ C + 0 ~3 iio
doivent C'tre A leur tour des fonctions ra'tionnelles de a, b, C...
Elevons an carr6, il viendra
A E cB + ~~s43