Obras sobre mathematica do Dr. F. Gomes Teixeira ... v. 1 Publicadas por ordem do governo portuguêse ...

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Cette courbe fut etudiee pour la premiere fois par Roberval, sous la designation de compagne de la cycloide, dans ses recherches sur cette derniere ligne. II en a determine les
tangentes par la methode cinematique qu'il avait inventee, dans le Me'moire qu'il -a consacre
a l'exposition de cette methode (Mlemoires de l'Academie des Sciences de Paris, t. vi, p..82),
et il a resolu divers problemes sur ses aires et sur les volumes de ses solides de revolution,
qu'on verra ci-dessous, dans les travaux qu'il a consacres a la theorie de la cycloide (1. c.,
p. 361 et 383).
La courbe des sinus fut aussi rencontree par le meme geomeltre dans ses recelerches sur
la courbe qui resulte de l'intersection d'un cylindre de revolution avec tine sphere tangente,
ayant le centre sur la surface du cylindre (1. c., p. 293 a 310). II a, en effet, derontre que
la transformne de cette ligne, quand on developpe la surface du cylindre stir un plan, est la
compagne de la cycloide. On peut demontrer cette proposition par les methodes modernes de
la maniere suivante.
Prenons pour plan xy le plan perpendiculaire a l'axe du cylindre, passant par le centre
de la sphere, pour plan xz le plan mene par ce meme point et par cet axe, pour plan yz le
plan perpendiculaire au precedent passant par le meme axe. Les equations du cylindre et
de la sphere sont
x + y-2 = b2, (x + b)2 + y + z2 == 4b2,
ou, en repr6sentant par t l'angle forme par la projection du vecteur du point (x, y, z) de la
courbe avec l'axe des abscisses,
t
x=bcost, y=bsint, z -+2bsin
2
Les coordonnees (X, Y) du point de la transfoimnee correspondant au point (x, y, z) sont
done determinees par les equations
X=bt, Y=z — +2bsin -,
2
dont il resulte
Y = + 2b sin b
Les recherelles de Roberval sur la cycloide et sa compagne ont ete nientionnees par Mersenne en 1637 dans sa Harmonie auniverselle et ont ete publiees apres sa nmot. D'apres l'histoire de la cycloide de Pascal (Oeuwvies, ed. Hachette, t. in, p. 337 et 340), Roberval a
considere ces courbes et a trouve le theoreme qu'on vient de de{montrer vers 1630.
La courbe des sinus fut etudiee aussi par Wallis dans son traite De cycloide, publie
en 1659 (Opera, t. i, p. 556) et dans la deuxieme partie de son traite De motu, paru en
1670, oui sont consacrees plusieurs pages a la thfeorie de cette courbe (1. c., p. 752-800). II a
donne de nombreuses propositions sur ses aires, sur les volumes de quelques-uns de ses solides