Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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8o ~~~~~SIXIEMIE LE~ON

gles sonte6gaux pour une autre raison, et les angles-en B et C,
A donc les c6te's AC et AD souL e'gaux.
Conside'rons la troisie'me condition caractl'ristique de e'~galite' des me'dianes.
B' D'abord la condition est ne'cessaire, car
Si oni a AB= AC, on a aussi BC'= CB'
0 ~~pour leurs moitie's.
B~~~~ De plus B = C. Donc les deux tri~angles BCB' et BCC' sont e6gaux et BB' =CC'.
Ensuite la condition BB' CC' esL suffisante.
En effet BB' et CC' e'tant deux me'dianes e'oales, leurs deux
tiers BG et CG sont eSgaux et le triang-le BCG est'isosce'le. Par
suite CBB'= BCC' et les triangles BCB', BCC' de-viennent
egaux pour une nouvelle raison. On en conclut e'~galite'
B C ounalors AB =AC.
Prenons eufin la proprie'te caracteristique de e'6galite' des bissectrices.
Si B=~C, on a on CBB1 -BCCI,
et les deux triangles BCB,, BCC, sont e6gaux, par suite
BB, CC,: les bissectrices sont egales.
A ~~La re'ciproque, cette fois, pre'sente quelque
difficultS' de dernonstration.
6 Voici en premniere ligne la dernonstration
C, B ~~que l'on propose de faire habitueltement,
mais qui a l'inconve'nient d'utiliser des
expressions assez complique'es, pen e6kemenB a C taires, fournissant les mesures des bissectrices en fonction de celles des co'tes. De'signons
celles-ci par a, b, ~c pour abre'ger. Les expressions en question
sont
2 ~~~ac -2 ab
BBI ac - b2 -CC ab *-c(a -+ ) ~~~~(a -v 6)2