Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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SIXIk ME LEQON

diviseurs i, n, 3, en est la somme. Est-ce le seul nombre parfait
Non, car ['entier 28, de diviseurs i, 2, 4, 7, i4, est encore la
somme de ses di-viseurs. Y en a.-t-il d'autres et mieux existe-t-il
-une loi de formation qui les fournisse tons P Certes on saiL en
former beaucoup d'autres, miais on ne conna't pas de loi generate
de formation, 'a lheure actuelle dans tous les cas. D'ailleurs, pour
le probleme en apparence plus simiple de la formiation des
nombres premiers absolus on ne connai't pas davantage de
formule generale. Signalons, malgre' tout une expression particulietre connue d'Euclide - on la trouye, bien qu'imparfaiternent
symbolis~e'eencore, dans ses Elementts - eL qui donne autant de
nombres parfaits qu'il se rencontre de nomibres premiers de la
forme 2 " -i1 Cette expression est
Supposons en effet 200 -I premier, pour une valeur con-venable de l'entier ni, et de~montrons que son produit par 211-1
est C'gal 'a Ia somime de tous les diviseurs possibles, inf~rieurs 'a
ce produit.
Les diviseurs sont manifestement
1, 2, 2 2,..., 2n-3, 2 n-2 21n(20 I), 2(211 - i), 22 (200 -I), 2 20-3 (20.~ 7 1-I),.02(n-2 - i
Ils out pour somme
(I -i — 2 -H~ 22 ~ n-H3~ 2n-2 - 0'
Mais en vertu de 1la formnule qui fournit la somme des termes
d'une prog ressioii ge'ome'lriq ue, on aura successivemient
2n-2 X 2 -I
1 F- 2H 2 H.H-200 n 02-9?
2I
La somme des diviseurs de-vient de'sormais
-2n H (2001- i)(201 -1

ou

(200 - i )(I H — 200I1 - 1