Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

MECANISME DE LA DEMO1NSTRATION 5

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Certes, il ne saurait t'tre question, dans notre e'tude, de jugement synthe'tique a posteriori, qu'on rencontre dans les sciences
experimentales, par exemple: lean bout 'a 100 degre's.
Eh bien, les logiciens ne se mettent plus d'accord quand il
s'agit de pre'ciser en mathe'matique des cas de jugements analytique et synthe'tique. Un fait curieux vous fixera a ce propos. Le
philosophe ne'o-criticiste Renouvier, mort en 1903, signalait
que Kant s'y est trompe'lui - meme en donnant1F'6galit 7e +i 5 = 2
pour son premier exemple de jugement synthe'tique a pr~ori.
C'est bien plnto't un jugement analytique, jugeait Renoavier qui,
il est opportun de L'aJouter, -vonlant, ramener toutes les connaissances mathe'matiques an seul principe de contradiction, les conside'rait comme analytiques.
A notre point de vue, cette proposition sera tout bonnement
une -verite' de deduction, un jugemnent de'ductif. Et en effet on
de'duira successiyernent
7 -t- 5 7-H- I +i I -H- I -HI + =8+ +I- -H
= 9 1+ I- +1I- IO -H-I -1- ILH 1 2.
En outre, si vous apprenez que tel on tel auteur de'cou'vre dans
le mode de demonstration appeLe6 conramment s(synthe~se geometrique ) pluto't la marque de lanalyse que de la synthe'se ge'ome'trique, vous concevez qu'enpre'sence de pareilles discordances nons
ayons -vonin e'viter le moindre rapprochement entre les expressions de jugements analytique et synthhdtique et celles de, de~monstr-ations analytiqute et syrnthedtiqae qui n'ont rien 'a voir ensemble.
Donc -vous imaginerez tonj ours que la me'thode de la ge'ome6 -trie analytique, pour prendre un exemple, est la me'thode re'ducive, et vous pourrez faire e'~tude de cette science, son analyse, an
Sens phulosophique et habituel du mot.
Cela entendn, arri-vons 'a l'objet propre de cette lecon.
Vous vons sonvenez, quiat propos des premiers principes, nous
dis tinugions les sciences mathe'matiques des sciences physiques
par ce fait que les unes utilisent surtout la deduction et les autres
surtdut linduction. Vous savez aussi que, le j eu de la deduction
constitue essentiellement, la demonstration.