Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DIGRESSION 5

5 I

II.- Digression sur les ileux geome'triques.
Rappelons d'abord qu'un lieu ge'ome~rique, et nous avons dit
qu'on attribue cette notion 'a Platon, est un ensemble de points,
ditiuspar exemple sur une ligne, qui satisfont 'a une meme
condition, qui jouissent d'une me'me proprie'te. Ainsi le lien
geometrique des points M d'o&i lon voit
C ~~un segment AB sous un angle donne' a,
~i se compose de deux arcs de cercie ACB
o~ et ADB, place's symetriquement par rapport 'a AB.
A B ~~~~On ne doit pas se contenter pour trouver
avec une entie~re rigneur un lieu propose'.
de rechercher certain ensemble de points,
une courbe pour fixer les ide'es, sur laquelle se trouveront des points re'pondant
D at la question, et de conclure que cette
courbe constitue le lieu propose'. Car,
d'une part, on pourrait oublier d'autres courbes analogues,
intervenant an me'me titre qne la pre~cedente, et, d'antre part,
accepter la courbe en totalite' alors qu'une partie senlement
appartient an lieu.
Aussi faudra-t-it contro'ler la recherche directe par la recherche
re~ciproque, en qnelque mnanie're, 'a savoir:prouver que re'ciproquement un point de la courbe de'couverte re'pond an lieu. En
d'autres termes, assurer directement, que tout point du lieu se
tronve sur le systi'nne de courbes envisage' et re'ciproquement que
tout point de ces courbes appartient au lieu. Alors un point qui
ne repond pas 'a la pro-prie'te conside'ree n'est pas sur unle des courbes on sur un des arcs de courbe trouve's, car s'it y e'tait it jouirait de cette proprie'te. De merne un point en dehors de ce syste'me
d'arcs de courbe ne satisfait pas 'a la condition primitive car s'it
ysatisfaisait it appartiendrait an syste'me.