Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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48 ~~~~QUATRIEME LE(C0

Soit un nouvel exemple ou'i un. plus grand nombre de cas sont
possibles.
Conside'rons deux circonf~rences d'un M eme plan, de rayons
r, r" et de distance des centres d.
Ii y a cinq hypothe~ses possibles
io les circonf6rences sont exte'rieures; 20 tangentes exte'rieurement; 3o0secantes; 40 tangentesin1e'rieurement; 50 1'une inte'rieure
a~ lautre,
et cinq conclusions
io. d >r -i '; 20 d k-+-r'; 3. r-r< rr;
40 d = r - r'; 50 d < r- r', en supposant r > r' bien
entendu.
Or les cinq cas hypothe'tiques sont les seuls possibles et hypothi'ses et conclusions sont respectivement contraires deux 'a deux.
Ii s'en suit que toutes les propositions re'ciproques son~t certaines,
d'apre's la loi de riciprocite', je veux dire qu'on saurait les justifier comme on faisait pr'ce'demment. Ainsi, succinctement, si
on a d > r -+- r' les circonf~rences souL exte'rieures car si elles
6~taient tangentes, ou alors se'cantes, on alors l'nne inte'rieure aj
l'autre, c'e'st qu'on aurait soit d = r —+- r-' soit d = r- r', on
alors r -r' <d < r-v r', onualors d Kr -r' maisjainais
d>r + 4'
L enonce' general de la loi est le suivant
Si dans une question toutes les propositions possibles admettent en hypothe'se et en conclusion desjugements s'excluant deux
'a deux, les re'ciproques, sont Yraies force'ment.
On dit souvent que chaque conclusion est caracte'ristiqae de
l'hypothe'se correspondante ou que la proprie'te en question est
caracte'ristique.
Signalons aussi que cette loi matheimatique se retrouye en logique sons le nom de the'orerne de HAUBEIR.
C'est dans le livre Schlow logico-malhematicc que cc
rnathe'maticien. et logicien allemand du debut du xix0 si'cle
de'montrait son the'ore'me affirmant, pour parler comme les logiciens eux-memes, la re'ciproque'de plusienrs alternatives excla