Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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prcd' du probl'me r'solu, en alge'bre, en ge'ome'trie analytique,
partout oui Von part de propositions ' d'rnontrer, on nederpa
raisonnablement utiliser le mode de'ductif mais le re'ductif. En
resume, il faut toujours partir du connu pour en inf6rer Finconnu, comme on dit en philosophie.
Mais appliquons le raisonnement re'ductif 'a l'exemple propose'.
Peut-on de'duire la proposition (i) de (2)?
IDeux hypotheses se pre'sentent
Si x est positif, la deduction est possible, car alors les deux
membres de (i) ktant. positifs et ayant des carre's e'gaux sont
egaux. necessairement.
Si x est ne'gatif la deduction serait ille'gitime, car les deux
membres de (i), diffhrant par leur signe, ne sauraiente'tre egaux.
D'ailleurs, soils cette deuxie'me hypothese, la seule affirmation
valable serait V2=-X.
Le raisonnement rmiductif me'rite donc quelque attention.
E tant donne' son importance logique -vis-h-vis de la rigueu'r
mathe'matique, nous aurous 'a l'appliquer le cas e'che'ant.
Emplol du raisonnement par Fabsurde. - Si pour des 'verite's
premieres, e'lementaires, il est pre'f6rable d'user des deux modes
pr'c'dents, il existe pourtant un domaine oii ce troisie'me mode
regne en mai'tre. Coest le domaine de l'infini.
Ce fait, trop ne'glig6' lui aussi dan's l'enseignemnent, et que nous
regyrettons de n'avoir pas le loisir de mettie bien en lumniere au
cours de nos legons, vous sera de'j'a certain si Yous re'fle'chissez
que l'exemple ci-dessus du raisonnement par l'absurde se rapporte 'a un nombre irrationnel V et que l'irrationnalite'
implique l'infini.. Rappelez-vous encore une proposition premie're de geometrie plane, 'a sa-voir: deux droites perpendiculaires
a une troisie'me sont parall1'les, on ne se rencontrent pas. Pour
la de'montrer on en prend la contradictoire: les deux droites se
rencontrent. Et on prouve l'absurdit6' de celle-ci, car du moment
que les droites se rencontrent, par leur point commun il passe
deux perpendicutaires 'a une droite propose~e. Or cette affirmation