Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

MECANISME DE LA DEMONSTRATION 4

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Vo'ici un premier exemplo logique:
Tout animal est cheval;
Or aucun hommo n'est animal
Donc aucun homme n'est cheval.
La conclusion obtenue de'ductivement est vraie bien que la
premiere premisse soit fansse et le raisonnement dans sa totalite6
apaat comme un -v'ritable paralogisme on raisonnemetd
travers, an sens e'tymolooique du mot.
Voici un deuxie'me oxemple mathe'matique:
De'signons en general par v'a, oi'i a est un nombre, positif, le
nombre positif dont le carre' est a.
Ecrivons mainteniant 1'e'galite'
at propos do laqnelle x2est bien uin nombre positif.
L'affirmation qu'elle constitne est justement fausse dans le
cas oii x devient nn nombre ne'gatif. Ainsi pour x=- 4 on
serait conduit 'a ecrire
V( 4)2 4 on 4
ce qni es L manifestement faux car VT6 =4.
Copondant, de cette 6'galit6' (i) fausse dans le cas en question,
la deduction va faire apparaitUre un re'sultat vrai.
Elevons en effet an carre' les deux membres suppose's e6gaux,
on obtient ainsi de'ductivement des nombres e'gaux, d'oi'i e'~galite'
(2) - (x)2 =
qui est vraie et me'me on ne pent plus vraie.
IEn consequence on no pourra pas affirmer qu'une proposition
donne'e a priori est valide sous pre'texte qn'on en pourrait tirer
par deduction une proposition certaine.
An contraire la reduction no saurait nons induire on erreur car
elle nous ramo'no en somme a faire 'des deductions 'a partir do
propositions certaines. Or une loi do la raison est quo de propositiotzs vraies on ne peat dedaire par lejeu dle la diddction que -des
conclusions vraies.
Cola pose', la re'ponse ai notre doenande devientr facile. Dans le