Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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QUATRIEME LEMON

moins vrai que le raisonnement ne procede que par trois voies
differentes, ne possede que trois processus logiques distincts.
Ces trois raisonnements, que nous devons diff6rencier aujourd'hui, nous les nommerons: le raisonnement deductif, le raisonnement reductif et le raisonnement par I'absurde.
Raisonnement deductif. - C'est le raisonnement-type auquel
se ramenent les deux autres. C'est lui que nous avons rencontre
jusqu'ici.
11 utilise les deductionsdans leurordre normal, en suite directe.
Comme le nom meme de deduction l'indique, il permet de tirer
logiquement d'une verite deja connue une verite nouvelle, inconnue avant la demonstration.
Mais, pour notre objet actuel, prenons un exemple.
Partons, en supposant que a est un nombre arithmetique, de
la verite qu'exprime l'egalite
(I + a) =- -+- 2 -+- a2.
Mais comme I + a --- a surpasse 4-+ a d'unnombre
positif, on en deduit aussitot l'inegalite
(i - a)2 > I + a.
Multiplions-en les deux membres par - a qui est positif,
l'inegalite ne changera pas de sens et deviendra
(I — a)2 (I -- a)>(i — 2a)(I +- a)
ou (I 4- a)3 I + 2a4 — a -+2a2.
Et comme 1 -+ a a - 2a2 surpasse -2a -+- a ou
i -+- 3a, il vient enfin et a fortiori
(I +a)3 > i -- 3a.
Cette inegalite exprime une verite nouvelle, analogue du reste
a la precedente
(i -i- a)2> I -+2a.
Remarquons en passant que l'inegalite generale
(ir -a)" r> i - na
est vraie et peut se demontrer par recurrence.