Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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26 ~~~~~~TROISIEMAE LEC,0N,

dont nous avons parle'. Conside'rer le produit de deux nombres
irrationnels, c'est alors conside'rer une nouvelle coupure e n deux
classes, dans lesquelles on classera. les produits resp~ectifs. des
nombres rationnels relatifs aux deux coupures propose'es. Or
tout produit de nombres rationnels est commutatif.' Done les
classes de la coupure nouvelle, et par suite la coupure elle-me'me,
ne dependent pas de l'ordre. des deux nombres irrationnels conside'res.
Cette fois le raisonnement-est purement de'ductif et le jugement de conclusion 6egallementL. Miais ii ne porte pins sur fun
nombre -veritable, comme e'~tait l'incommensurable vis-ai-vis des
nombres corumensurables. Le mathematicien subjectiviste,
- observons-le de's maintenant - ne s'inquic'te pas de savoir ce
qui se passe 'a la limite. Quand il parlera de limite, elle ne sera
pas force'ment atteinte, co mme le faisait remzarquer le mathe'maticien et logicien Duhamel,au siecle dernier ()
Cela compris, on voit mieux ce qu'il convient d'entendre par
principe d'induction complete, qui reste cons taniment un principe de deduction aux -yeux d'un subjectiviste et ne devient
vraiment un principe d'induction pour l'objectiyiste qu'autant
qu'il est ge'neralisS', qu'il ne s'appliqne plus at une proprie'te de
nombres entiers mais de nombres incommensurables.
Quant 'a la diff6rence de position des matliermaticiens modernes
ace propos, elle tient 'a leur fa~on de comprendre l'infirii. La
question de Finfini est loin d'e'tre tranche'e, et nous la retrouverons, le cas 6'che'ant, a-vec toutes ses difficulte's. Pour le's
objectiyistes qui passent volontiers 'a la lirnite, l'infini est atteint
positivement. Pour les subjectivistes qui e'vitent de le faire, linfini
ne pent tre atteint; iiest plus exactement l'inidefini qu~icomporte
une ide'e negative de nombre entier qui, dans la suite des en tiers
successifs, par exemple, ne saurait Atre le dernier. Les uns consi(i) Voir la fa~on toute formelle dont on d6finit actuellement la. notion de
nombre irrationnel, de. limite, dans 1'ouvrage de M. BA&IRE:Lecons sai- les
thories g~ndrales de l'Analyse. Voir aussi ce que lauteur appelle le (( principe d'extension s), A pro'pos de la commutativit6 d'un produit de nombres
irrationnels.