Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DEUXIEME LEQON

tantot le nom. de raisonneineni par, rdcur'rence, tantOt de ratsonnement par induction ou Meme par induction.? complie.e Pourtant
-et 11011 allons le Yoir -le raisonnement est purement, de~ductif. 'Gertains auteurs le d'clarent, inductif. Pour fixer les ide'es
nous Ilappellerons, proce&IJ par rdcarrence, en nous reservant, de
preciser bientot ce que nous entendons par s(principe d'induction comple'te )). Voici done le me'canisme de ce proce'de - preMie're manie~re -. Admetto'ns pour abre'ger qu'on sadie que
l'entier, impair de rang n soit.2n1 - i. Notre premie're. suite,
Si nous explicitons les termes de rangs n et n -- i, s'e'crit
o, i 4, ~.9(n-i)2, n2,
La diffirence entre les deux-termes en question est
2- (n- )I -1 /12 (112 _ 201-~-1i) 1l2~ fl-Fn - 201- I 2fl- I,
done justement l'entier impair de rang n. De sorte que la nonYelle suite forme'e par soustraction des terines consecutifs de la
premie're sera
I, 3, 5,., 2fl-I,
De'sormais notre esprit est, rassure', cette suite comporte tons les
nombres impairs snccessifs. La propriete' de formation de ces
nombres est, generale, eile a toujours lieu. En douterait-on qn'il
suffirait pour dissipeT le moindre doute de raisonner ainsi. Cette
proprie~to est, vraie an debut pour n i, de plus elie est, ega.
lement Yraie pour iune valeur quelconque de a1, done elte est;
loajoaurs Yraie. En d'autres termes, si 011 imagine un entier de
l'arithme'tique, aussi g-rand qu'on Yeut, le proce'de de recurrence
actuel, s'appiiqnera jusqu'ai mui.
Mais envisageons le proc'd6 - deuxie'me maniere - car c'estL
sons une forme pins classique que se presente la demonstration.
1)ernontrons, a~ eet effet, que la somme des carre's des it premiers
nombres entiers pent, so repre'senter par l'expression
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autrement dit qu'on a e'6galit6'
n(n~ 1)(2n — i)
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