Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

4

I
PREMIERE LE(ON

cette loi de separation bien de'finie produit dans lensemble des
nombres rationuels possibles une coupure, d'aprb's le langage
actuel. C'est cette coupure qu' il importe de conside'rer dans la
definition pre'sente du nombre irrationnel, qu'on dira. correspondre 'a la conpure. Remarquons qn'on ne pent pas encore affirmer
que le carre' de ce nonvean nombre, puisque nombre il A, a, est
precise'ment 2. Pour s'en assurer, Ai faudra d'abord 6tendre l'op&e
ration de multiplication, exacternent, celle de puissance du second
ordre, a ce symbole formel ainsi de'fii, que l'on pourra e6crire
V 2 seulernent aprebs ces considhirations pre'liminaires. Quant 'a
la notion de lirnite, elle devra. egalement, dans cette me'thode subjective, re'sulter d'un traitement special, d~une definition precise.
Ces exemples, qne nons retronverons pins lard, anront en
anjonrd'hni le me'rite de caracte'riser 'a vos yenx les denx me'thodes
objective et subjective des mathematiciens M1aborant les premiebres notions de leur science. La premibre a forcement, historiquement parlant, precede l'autre; elle s'adresse davantage aux.
sesa l'inituition sensible, dirait un philosophe. La deuxi'me, plus
abstraite, ne proce'de que de lentendement; elle es-t momns accessible pent-b'tre que sa rivale, mais bien plus rigonreuse, pnrement
formelle. C'est cette methode subj ectivNe que l'on tend 'a employer
de preif6rence dans ce domaine encore si myste'rieux de l'infini,
auquel nous avons fait allusion, et que tant de chercheurs
explorent de nos jours, avec, pre'sente 'a leur esprit sans donte,
la forte pense'e de Renan: ((L'humanite' narrive 'a la ve'rite' que
par des erreurs successives.
Mais soyez sans crainte, an cours de ces leqons il s'agira
le plus souvent du fini et, dans son domaine, le choix. des denx.
meithodes naura pas nne importance excessive, ne nuira pas, en
tout cas, 'a la clarte'. Nous snivrons tonjours l'ordre historique,
1'exposition de chaque notion sera faite d'aprebs la voie objective,
puis suivie d'une exposition parallelie par voie subjective, quoiqne
pins briebvernent. Mebme, nous attendrons d'avoir e'puise' un certain ensemble de notions, de combinaisons de ces notions, avant
de les reprendre. De pins, chaque lecon comportera. une partie