Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DE LA, RLGUEUR MATHEMATIQUE11

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eeL ensemble infini de fractions devienne equivalent 'a celui des
entiers et de'nonmbrable comme lui.
Certes tons les ensembles infinis ne souL pas de'nombrables et
je me contenterai de vons signaler pour le moment (1) que lensemble de tons les nombres arithme'tiques possibles, rationnels
on irrationneis, me'me soumis 'a la condition d'e'tre inf~rieurs 'a
i, nel1'est pas. 1I sera dit non donombr-able.
Enfin voici un dernier cas oiui iintervention de la rigrneur est
delicate; c'est, celui des 4quations fractionnaires.
Soit par exemple e'~quation
_____- ____I ( cc- 1) 2
-0, 011 z O.
Donnons 'a cc la valeur nume'rique i. La fraction an premiermembre se pre'sente sons la forme illasoire, scion i'expression
consacree, - Or, cette fraction n'a pas de sens v'ritabiement
0
rationnel puisqu'on n'a jamais 'a conside'rer une fraction de de'nominatenr o. Si elle pent 'en acquerir un, ce sera un sens purement conventionnel. En remarquant en effet que tout nombre
mnltipliant o reprodnit o et qu'une fraction T- est justement
le nombre qni multipliant b reprodnit a, on petit, malgre'
que b soit tonjours nn nombre diff6rent, de o, conyenir qne
- rcpresente un nombre quelconqnc, 'a la condition qn'ancune
0
contradiction n' en re'sulte. Et 'a premie're vue i'~qnation ne
semble pas satisfaite on piutOt si, qnand on y fait cc egali' ~i
car d'une part le premier membre ne prend pas pins -volontiers in,valeur o qne tonte au trc -\aleur, et d'autre part le premier membre
prend la -valeur o, cc qni e'~gale par suite an second (et c'est ce
qu'ou vent dans le proble'me de la resolution d'une eqnation).
A denxie'me vue elie sera satisfaite mais aux termes d'une, nonveile conven/ion.En effet, taut que cc reste diff6rent de i, in

(") Voir note finale No II, dans la deuxie'me partie.