Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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I 5o ~~~~DOUZIEME LECQON

une infinite de nombres fractionnaires renferme's dans chaque
intervalle. Or il y a une infinite' dintervalles. IL semble.donc
u'on a form' une infinite' d'infinite's de ces nombres et qu'ils
seront autrement nombreux que les entiers.
Cette conclusion manque de rigueur justement, ne fAt-ce que
par le peu de clarte' de ses termes. Ii y a autant d'e'lements dans
ces deux ensembles et me'me ii y a' autant d'entiers que de fractions, quelle que soit leur forme. Plus rigoureusement, l'ensemble des fractions dont~les deux termes prennent se'pare'ment toutes les valeurs entie'res possibles, est equivalent 'a celui des
entiers.
Pour le prouver il suffira de montrer qu'on pent y nume'roter,
du me'me numero, chaque fraction et chaque entier, on, selon
l'expression moderne, que ces deux ensembles sont de'rnombrables, les nume'ros d'ordre des entiers se confondant avec les
entiers eUXMmes
En effet, constituons les groupes de toutes les fractions possibles dont la somme du nume~rateur et du de'nominateur soit
egale 'a un nombre entier determine6, x, pour chaque gronpe:
x prenant successivement toutes les valeurs entiebres, dans leur
ordre croissant. De plus, disposons dans chaque gronpe, lesfractions constitue'es, par ordre de grandeur croissante, en augmentant 'a chaque fois le nume'rateur d'une unite' pendant que le
de'nominateur sera diminun' d'une unite, pour que la somme des
deux termes reste constante. Nons obtenons les gronpes suivants:
I I 2 1 2 3 i 2 3 4.
2' 13 -2 - 4 3 2 1 X2 3 X -3 X -2 X - I
X -2 x33 2 I
[1 est manifeste que, tonte fraction qu'on imaginera sera
obtenne force'ment par ce proce'de, puisque la somme de ses
deux termes est un entier quelconque, tel que x, et q ue toutes
les fractions 'a somme de termes e'gale 'a x out e4te constitue~es. IL
ne reste alors mnaintenant qu'a' nume~roter toutes les fractions de.ces divers groupes, daus l'ordre OA~ elles se presentent, pour que