Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DE LA RIGUEUR MATHIEMATIQUE'4

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tionnels. On exprime quelquefois ce fait en disant qn'il y a antant
de nombres arithnmi'tiques compris entre o et i qn'entre i et
l'infini, on mienx qn'il y en a autant de plus petits que iqne de
pins grands. Sons nne forme toute moderne, les deux ensembles
infinis de points M et N on. mienx de nombres x et -~qni
constitnent ce qu'on appelle les elements de ces, ensembles, sont
equivalents.
La correspondance unifornie et re'ciproque dont nons parlions
I'avant-dernie're fois est ici fort simple 'a etablir, deux elements
correspondants Rtant inverses l'nn de 1'autre.
Voici un antre exemple ge'om6Ltrique.
0 Soient denx segments AB et A'B' et le
point 0 de concours de AA' et BB'. A
~~' / / tont point M de AB la droite'"OMi fera corBr respondre nn point AM' et nn sent de ATB',
et re~ciproquement. Donc les denx ensemA M B bles de points constitnant les segments,
et qui sont infinis, sont equivalents.
Imaginons encore 1'ensemble infini des entiers snccessifs
et 1'ensemble infini des entiers pairs snccessifs
Ils sont eqnivalents on., sons nne, forme un pen viciense, it y a
antant de nombres pairs que, de nombres, entiers,; et fandrait-il
se garder de croire, et de dire qu'it y a. denx fois plus d'entiers,
pairs on.'impairs que d'enitiers. pairs.
-Mais prenons maintenant 1'ensemble infini des nombres fractionn'aires. En particulier nous ayons nne infinite' de fractions
inf6rienres 'a i, savoir.:., —~-.~-.. pour ne
prendre que celles dont te nume'rateur est 1'unite'.
En ajoutant ces diyerses fractions anx entiers snccessifs dont
nous conside'rerons les intervaltes, nons formons 'a chaque fois