Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DE LA RIGUEUR MATHIEMATIQUE'4

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pr'c'denLe et inscrivons-iui un polygone r'guLli~er ADEF.
Joignons OA, OD, OE, OF.
Nous obtenons des triangles isosceles tons e~gaux an triangle
OAD dont nous figurons la hautenr OH.
L'aire dn polygone sera
aire OAD -~- aire ODE -+- aire 0EV +4
AD.OHl DE.Oll EF.Oll
2 2 2
en rempla~ant les hauteurs e'gales 'a OHl par OHl elle-me'me.
Cette expression s'e'crit encore
OHiAl — D — E
2
Quand le nombre des co~t's crof't inde'finiment, OH tend vers r
et AD -i- DE -+- EF-4 tend vers 2Ttr.
De plus une proposition de la the'orie des limites apprend que
la limite d'nn produit de factenrs variables est e'gale an produit
des limites.
Donc laire dn eceseabe - 27r1 on 71tr
2
Cela pose', de'montrons que le volume d'nne sphe're est -rc
3
sachant que sa surface est 41-2.
Inscrivons un polye'dre re'gulier et faisons croi'tre le nombre
des faces inde'finiment.
Joignons les sommets an centre de la sphe're: nous formons
des pyramides toutes e'gales. Le volume d'une pyramide e'tant le
tiers du produit, de la base par la hauteur, nous obtenons pour
le volume du polye'dre une expression analogue 'a la precedente,
mais oi'i le de'nominateur 2 sera remplac6' par 3. Les deux facteurs variables tendront vers les limites r e -2, et le volume
de la sphe're sera finalement _-_ 4irl onU ~
En apparence le raisonnement semble rigoureux en tous
points, et il a re'ussi 'a nous fournir un volume exact. Pourtant
it n'en demeure pas momns un ve'ritable paralogismne comme se