Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DE L' 1NVINI I 29
A qui re-Ste constant, quel que soit n, il est 'a hui-menme sa
propre limite et on aura finalement,
C r2
&r'2 ~~~C. Q.F. D.
IPassons maintenant 'a la demonstration euclidienne qui utilise
- il fallait s'y attendre -le raisonnement par l'absurde. Elle
reposait Sur ce postulat que xSi d'une grandeur on enle've la
MoitieS ou plus de la moitie', puis de ce qui reste la moitie',ou plus de la moitie", etc... et cela un nomubre inde'fii de fois,
La grandeur qui subsiste est aussi petite qu'on veut.
Or, partons pour sim-plifier dii carre' unscrit. La diff6rence entre
l'aire (1) du cercie et celle du carre' vaut quatre fois laire du segment de cercie qui apparait' dans cette inscription. Luscrivons
-ensuite un octogone- re'gulier convexe qui einpnunte les quatre
sommets du carr6'. On verra aise'ment, en faisant la figure ge'oue'trique, que Faire de L'octogone diffire de celle du cercie de momns
de la moitie' de la premie're diff6rence. Et ainsi de suite en doublant successivemeut le nombre des ckt's des polygones. De
sorte qu'eu enlevant 'a cliaque fois un des polygones unscrits, la
-diflf~rence avec le cercie est plus petite que la moiti6' de la diff6 -rence pr cdete
C 2
Montrons de's lors que ~-.Supposons en effet que Pon ait Ci9 r2- et prouvons que
C" 'F
C"/ = C' en de'montrant que la proposition contradictoire composee de C'1 < C' et de C"' > C/ est absurde.
En premier lieu ou ne peat avoir C" < C". Car inscrivous
deux polygrones re'guliers de n co'tes, d'aires P,, et PI,, n e'tant
suftisamment grand pour pie l'on ait:
C' - P, -< -C' - C", ce qui est possible d'apre's le postulat,
on eu tire P',> C".
(') Cette ddmonstrati on d'Euclide prdsuppose la Potion de L'aire du cercle
comme notion a priori.
MAROGERe. -Fondements des Mathdmatiques.9