Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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a
limite - en supposant toutefois que b est diff~rent de o.
Ce the'ore'me, dans le cas particulier ou'i x se re'duirait a une
constant e gale 'a i, fournit justernent la proposition rencontr~e
ci-dessus sur linverse d'un nombre variable et de sa limite.
Nous, dc'montrerons la proposition en general en supposant,
pour fixer les ide'es, que l'on a sans cesse x < a et y > b
(les autres hypotheses se traitant d'une faqon analogue).
x a
Dans ces conditions on a a fortiori -<
y
Je dis qu'on finira par avoir maintenant
a x
e'tant aussi petit qu'on vent et positif.
Repre'sentons en effet les, diffhrences a - x et y - b qni.
sont deux infiniment petits par x' et y', nombres positifs. En
de nouveaux termes, posons
a-x x' et y —bxy'
doAon tire x = a-x' et y =bvy'.
Par suite, on aura
a x a a -xi' a(b -~-y') -b(a — x') ay,-v~-bx'
b y b bvy -/ b(b — y') b(b — y')
Mais il est manifestLe que cette derni "re expression est infbrieure
a LbXon qne l'on a
ay'-~ bx'<ay,'-v-bx/
b (b -v-y') b
Douc l'inegalite' (i) aura lien, et cela a fortiori, si on finit par
avoir la suivante
(2) ~~~~~~ay, -+- bx'
Pour que cetle-ci ait lieuL il suffit qu'on ait 'a la fois
ay' s bx' E
et b<