Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

i i8 DIX~IEME LECON
Cola pose', e'tudions la somnme des n premiers termes
a, aq, aq, aq..
d'une progression ge'oine'trique de'croissa-nte, c' es t-i-dire o&' le
premier termo a est positif et la raison. q positive et de plus
inf~rieure 'a i.
Ecrivons Sn- a -+ aq +i aq2 -- ~aqn-f
Or si l'on forme le produi t suivant
on trouve, les produits partiels disparaissant deux 'a dejix, sauf
les deux produits des tormes extre~mes, que l'on a
(-i- qa-_q2 _- I-I q
On en deduit iq +q2-tq~''= a a__ _
Par suite S - a - -
q -q
Finalement on aura
a q
(3) -Sn-ra -
-q -q
Mais il est facile de prouvor que a q est un infiniment
petit, quand n devient un infiuiment grand, autroment dit
qu'on finit par avoir
qfl
sU, positif, est aussi petit qu'on veuLt.
En effot cotte ine'galite' ost finalement C'qui-valento 'a la suivante:
E(i - q)
a
ot cello-ci f'miira par e'tre satisfaite, puisque qfl est pre'cise'ment
ici un infiniment petit.
En resume', le'galite' (3) assure de'sormais que la somm'e -variable S,,, croissanto cons tamment bien entendu, no croiltpas inde'