Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DIE LIIYFINI 117
Laissons pour l'instant ces considerations critiques et, en vue
d'une on. deux applications importantes, donnon s plUt At quelques
details techniques sur ce chapitre de linfini.
Montrons d'abord que les puissances successives d'un nomnbre,
soit q, plus grand que i, croissent non seulement constarmment,
ce qui est par trop simple, mais inde'finirnent en Merme temps
que 1'exposant rn de la puissance. Autrernent dit, justifious que
qfl est un infiniment grand de's cjue it le de-vient.
II suffit de prou-ver qu'ou pourra choisir l'entier n. de facon 'a
(I) qn >A,
oil A est un nombre pris 'a l'avance, aussi grand qu'on -vent.
En effet, d'apre's l'hypothe'se que q surpasse i, on pent C'crire
q ' + ci, e' tant positif. L'ine'galite (1) s'eicrit de's lors
(2) ~ ~ ~ ~ ~ ~ Cn>A
Mais nous avons de'montre' ante~rieurernent, en usant du proce'de
par recurrence, que l'on a
(I ci-,)n > I~-i.
L'ine'galite' (.2) aura par suite lieu, et a forfior-i, si l'on prend
i~ ft- ci> A
on. finalemeut n >A
ce qni est possible, puisque n crof't sans limite.
Montrons ensuite que les puissances successives d'un norubre
positif, soit q', inf6rieur 'a i, de'croissent constamment et inde'finiment lorsque l'exposant de la puissance est un infiniment
grand, en d'autres termes que qIn est un influimeut petit.
I
Cela resulte de ce, que, en posant q' -, ouX q est supe'rieur
q~~~~~~~~
ai puisque son inverse q' est inf~rieur, on aura qfl q
Et comme qfl est un infinirnent grand a-vec ft, son in-verse
qnsera bien un infinimeut petit.