Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DU NOMBRE EINTIER10

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nombres en general. La premiere se rattache 'a le'galite' a =a,
qui au fond constitue une veritable tautologie. La. deuxie'me se
rapporte 'a ce. que le'galite6 a = b entrailne le'galite' b = a.
L'assertion que lorsque un entier est 6'gal 'a un autre entier, celuici est e'gal 'a celui-la, n'est que la traduction du principe dWidentite' dans la circonstance actuelle. Enfin la troisie'me correspond
a ce que si on a a = b et b = c le principe d'identite'permet de conclure a = c.
Ordination de l'ensemble des iiombres naturels. - Prenons,
en excluant jusqu'a' nouyel ordre le nombre o, trois entiers, diff6 -rents deux 'a deux, a, b, c. Supposons qu on ait a < b et
h < c. Comme il manque queleques unite's an groupe represent6'
par a pour que la correspondance, unite' 'a unite', puisse s'e6tablir comple'tement ayec, le groupe b, et que dans celui-ci quelques unite's font de'faut pour assurer la correspondance compltee
avec le groupe c, iA en re'sulte qu'a for-tior-i on ne pourra pas
assurer la correspondance comple'te entre les groupes a et c, andetriment du dernier. Donc a est plus petit que c.
Les ine'galite's pr'ce'dentes entrailnent cette nouvyelle ine'galite'
a < c. On dit pour tout ensemble d'e'hements, tels que trois
quelconques d'entre eux satisfont 'a la fois aux trois ine'galite's
en question, qu'il est bien or-donn~.
L'ensemble des nombres naturels est bien ordonne' et Von pent
ecrire successivement I< 2 < 3 < 4 < 5.
Traiternent special du nombre o dans la comparaison des
centiers. - Ge'neralisons e'~tude precedente de comparaison, en
traitant 'a part, comme nous l'ayions fait pre'voir, le nombre singulier zero. Tout d'abord, o deyra Atre considers' comme egal 'a
Lni-meme et on ebcrira 1'e'galite' conyentionnelle 0 = 0.
Ensuite, si l'on compare o 'a un entier quelconque a, on ne
trouyera ancun objet 'a mettre en correspondance avec un objet
de la collection relative 'a a. De telle sorte que o sera regarde'
comme plus petit que a, d'oii l'inebgalite' o, < a.