Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

DU NOMBLIE ENTIER 9

97

tion propose'e. En d'autres termes, quel que soit l'ordre dans,
lequel on choisit'des elements pour en former un groupe de'termine', on., qnel que soit l'ordre dans lequel on compte les.
elements d'un groupe dej'a' forme', on abontit toujours an mme'e
nombre entier. C'est cette invariance du re'snltat, invariance qui,
d'coule, an point de -vue mn'taphysique, de ln notion de nombre,
entier et de l'application 'a cette notion du principe d'identite6,
lequel permet d'affirmer qu'nne collection determin~e' d'objets
est, sous le rapport de la quantite', toujours identique 'a ellememe, qu' on a tradnite Sons le nom de principe d'invariance on
d'axiome du rtornbre entier.
Introduction du nombre zeivo. - Convenons dans nn but de
generalisation, non pas tant de conside'rer nne collection par trop,
singnlie're ne contenant ancnn objet que d'examiner, en distinguant cette fois la qualite' des objets, s'il y a on. s'il n'y a pas dans,
une collection proprement dite quelqne objet d'une espi'ce de'termine'e. Convenons ensnite de tradnire cette absence d'objet, s'ii
y a lieu, cette ide'e de privation en quelqne sorte, en disant, non
pas d'nne facon negative, qn'il n'y a pas d'objet de cette espece~
dans la collection, mais bien, d'une facon positi-ve, qn'il y a ze7-o
objet. Convenons enfin que ce substilut de pensee, pour employ'er.
uin terme de philosophie, jouera nn role analogne an ro'le jon&"
par nn nombre entier qnelconqne, leqnel, b'tait lui, plutb't un,
substitut d'objet concret de pense'e, 'a savoir la collection correspondante, et assimilons zero 't un nombre entier. 1I reste bien:
entendnu qne ce nombre nn pen singulier devra btre soumis, 'a
chaque -nouvelle extension de 1'idee de nombre, 'a chaque -non —
-velle operation de I'arithme'tique, 'a nn traitement special qui ne~
doit apporter par la suite ancune contradiction. Cette ide'e, dont
nous poursui-vrons, an moment -vonlu, les di-verses modalite's,.
les di-verses representations si vons pre'f~rez, donne lieu 'a son.
origine 'a la notion du ze'r-o ar-ithme'tique.
Emploi des chifires. - Vous savez que, daus un but de simplification, on substitne le plus souvent aux denominations des
MABOGER. - Fondements des Mathdmatiques. 7