Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

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~~~86 ~~~SEPTIEIIE LEMON

Rolls de'couvrons aussito't cette proposition:une perporidiculaire
'aune droite est perpondiculaire 'a toute parall4el 'a cette droite.
Essayons de nous en servir pour dc'montrer le postulat.!Nous disons:quelque autre paralleld A" 'a A mene'e par A, aui
moyen d'llne autre construction, no peut diff6rord~e A', pulisque
All deviendrait perpendiclllaire sur A" et qu'il est absurde qu'il
y ait, passant par A, dellx perpendiculaires distinctes A' et A" 'a
All.
Le maiheur, c'est que cette proposition allxiliaire impliquanit
le postulat, Rolls avons fait, ni plus ni moins, un cercie vicieux.
Reprenons-en en effet la demonstration. Partons de A et A' paralle'les, par hypothe'se. Menons All perpendiculaire sulr A et proul-vons qll'elle Jo sera 'a A'. Dans cebllt menons par A une perpen-.diculaire sulr All, soit A" pour fixer los ide'es. Les droites A et
A" perpendiculaires 'a la fois sur AH deviennent paralle'es. Donc
AL' et A" sont toutes deux, isslles de A et paralledes 'a A. Elles,coincident, - d'apre's le poslalalam d'Euclidejllstoment - et All
apparai t d'sormais comme perpendidlllaire sulr /A'.
La natllre dll postulat reste par sllite entiiw.e'
Get ossai terrnine6, examinons d'lln esprit avorti la definition
dos paralle'les, sav'oir: les droites d'lln mne'me plan no so rencontrant jamais aussi loin qu'on los prolongo. Nous devons avotnor
quo co mot do (j amais )) quli concourt 'a la de'fini tion inanque do
precision. On imagine bion en effot quo doux. droites peu-vont no
pas so rencontrer si elles restent limite'es, mais qu'elles pllissent
no so roncontror jamais si elles deviennent illimite'es, voila' co qui
e~st moins net h concevoir. On nous repre'sentera. sans dollto qllO
lo fait pour dollx droites do no pas so rencontrer, aussi loin qll of
-los suppose prolongeos, re'sulte de'j'a do la notion qu'on so formo
ido la droite.
Mais, ainsi complet~e, cotte notion n'est-ello pas alors contra-dictoire dans sa. totalitS' i) D'un autro cokt4, n'est-il pas tout aussi
le'gitirno, sur I'applli dllno notion qui n'est pas rigooreusenment
de'finissable, do supposer plusieurs droites issues d'un point et,so rapprochant inde'finiment d'une alltro droite sans jamais la