Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

AXIOMES, POSTULATS 8

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Chez Eucl~ide, de's que deux dr~oites ne faisaient plus avec une
MeMe troisie'me deux angles adjacents du, me'me co'te supple'mentaires, eltes se rencontraient (dui co'te oii la somnme des angles en
question e'tait inf6rieure 'a deux droits). Si donc, ayanit mene' par
le point ex[e'rieur une premuiere paratlilel 'a la droite, nous
les coupons par une se'cante commune, nous obtenons, on to salt,
deux angles adjacents, du MeMe co'te de la se'cante, supple'mentaires. Toute antre droite issue du point donnera lieu 'a des angles
non suppblementaires et rencontrera alors la droite propose'e.
A-vec ce pos tulat nous entrons dans te domaine de tinfini,
et peut-e'tre y manquerons-nous d'assurance. Si -vous le -voulez,
nious allons faire un essai de logique
A ~~~~~~a ce suijet.
Soit A une droite et A un point
exte'rieur. M~enon s All perpe ndicuH A ~~~~laire sur A. Vous savNez - et itI s'agiL naturellement ici d'une figure de
gCom'trie plane - qu'it n'y en a qu'une seule possible. Puis
menons par A la seule perpendiculaire possible A' 'a HA.
Les droites A et A' toutes deux perpendiculaires 'a All seront
paralltiles entre etles (nous avons de'montre' ceci ante'rieurement
at toccasion de la reduction 'a t'absurde). De's lors la premiere
partie de te'nonce" precedent est assure'e, puisque par A passe A"
paralltel 'a A.
Mais portons notre attention sur ce fait que les droites AH- et
A' e'taient uniques dans nos constructions. It apparaitra, 'a pro —
mietre vNue, que A' est la scatle droite issue de A paraltlel 'a A,
Le poslulaturn semble donc de Loute &vidence. Serait-it un axiome,
de pre'f~rence P Loin de lit, nous -venons de conclire it t'existeuce
d'une paraltlel unique en utilisant unf proce'de unique de construction, et rien ne nous dit que tout autre proce'de ne donnerait pas
une autre paraltlel
PoursuivNon s da-vanta ge no tre in-vestigation. En nous fiant it
nos sou-venirs ptutO't quit t'aorclre togique d'enchai~nement des
Lhe'ore'mes e'le'mentaires surla perpendiculari~L et le paratlllisme,