Mathématiques --Philosophie --Histoire. Leçons critiques et historiques sur les fondements des mathématiques. Par A. Maroger, avec une préface de G. Milhaud.

84

SEPTIEME LECON

'Signalons au surplus ce qu'on appelle les axioines de l'egalite,
-symbolises comme il suit:
o a =a; 20 a =b, b a; 30 a = b, b = c, a c,
aet qui traduisent au fond l'axiome d'identite.
Ils donnent lieu du reste a ce qu'on nomme presentement en
logique la propriete reflexive, la propriete symetrique et la propriete transitive de l'egalite.
Nous disions que l'evidence a un caractere eminemment subjectif. Justement Leibniz qui, vous vous en souvenez, critiqua la
theorie cartesienne bien connue de l'evidence, avait essaye de
demontrer les axiomes de l'egalite. Cette pretention ne nous
etonnera pas outre mesure si nous nous rapportons a l'une de
ses pensees. ( C'est une de mes grandes maximes, enonce-t-il,
qu'il est bon de chercher les demonstrations des axiomes
mernes. )
Quant au postulat, il apparait comme une proposition non
evidente d'elle-meme, mais qu'on demande d'admettre malgre
tout sans demonstration. On lui substitue, assez rarement, le
nom de demanlde.
Sans encourir cette fois le reproche de la tautologie, on
pourra risquer une explication, sinon une demonstration pour
rendre acceptable la legitimnite du postulat. On le regardera
d'ailleurs, si on veut se mettre a l'abri de toute critique, comme
ane pure hypothese, ou comme une convention.
Le mot lui-meme vient du latin: postulatum, chose demandee.
Ce dernier se retrouve dans l'expression consacree de (( postulaurmn d'Euclide ).
Puisque l'occasion le permet, insistons sur ce fameux
postulat, dont d'Alembert disait spirituellement: ( Le postulatam des paralleles fait depuis tant de siecles le scandale de
la geometrie et le desespoir des geometres., Je vous rappelle
son enonce actuel, equivalent ia l'enonce euclidien bien entendu.
Par un point exterieur a une droite on peut faire passer une parallele a cette droite, mais on n'en peut faire passer qu'une. C'est la
restriction finale qui constitue proprement le postulat.