La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

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122. Le principe du tiers exclu [120 (III) (III') (III")] est celui qui
est employ6 le plus souvent dans les mathlmatiques, comme moyen
de preuve, dans les demonstrations qu'on appelle par abstrde et qu'il
vaudrait mieux appeler par exclusion.
En effet, on d6montre qu'une assertion est v'raie, en excluant la
v6rit6 de sa nergation (ou dune assertion qui serait impliquee par la
negation de l'assertion donnee), savoir en prouvant que sa negation
est fausse. Or, si la faussete de la negation d'une assertion suffit a
prouver la verite de lassertion donn6e, c'est bien en vertu du principe du tiers exclit. (C'est de ce principe que prennent naissance
aussi ces raisonnements qu'on appelle dilemmes.)
II serait done plus exact d'appeler drnonstrations par l'absurde
celles qui ont pour but de prouver la faussete d'une assertion,
au nmoyen de la veHite de sa negation; et cela en vertu du principe
de contradiction [120 (II) (II')].
Mais, tr6s souvent, dans les demonstrations math6matiques qu'on
appelle par 'abssurde on a recours aux deux principes a la fois, du
tiers exclu et de contradiction.
123. Dans plusieurs traites de Logique scholastique j'ai rencontr6
des pseudo-reductions de ces trois principes a un seul d'entre eux,
n'importe lequel. Eh bien! ces reductions sont imnpossibles, si l'on
n'admet pas d'autres principes. L'emploi du langage ideographique
nous donne le droit de l'affirmer a priori; car, pour passer de l'un
l'autre de deux quelconques des enonces symboliques de ces trois
principes, it faut introduire ou limniner quelques symboles, c'est-adire les idees logiques qu'ils representent. Cela est possible; mais,
pour le faire, il faut connaltre les procedes qui permettent ces transformations, c'est-a-dire... d'autres principes logiques!
D'ou: l'impossibilite de reduire la Logique deductive a un seul
principe. Si cela semble possible dans quelques traites, c'est que le
langage ordinaire a tendu des pieges aux auteurs, qui ne se sont pas
aperqus avoir recours dans leurs reductions aux principes menmes
qu'ils voulaient d6montrer ou a d'autres principes qui n'etaient pas
les trois en question.
124. D'ailleurs, cette analyse est bien facile.
Le principe de contradiction et celui du tiers exclu [120 (II) (1II)]
sont correlatifs [111]; il est done trbs ais6 de passer de l'un a lautre,