La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

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c'est-a-dire: les formules (II) sont 6quivalentes ordonnement aux
formules (I) dans lesquelles a, b, c,... sont remplaces par a', b', c',...
Ainsi donc, pour ce qui precede, la P [I, correlative de la P., est egale
a la P,', qu'on peut obtenir tout de suite de la P J. en y remplacant
a, 0, c..., par a' b' c',...
Mais, puisque a, b, c,... sont des Cls, a', b', c',... (III) sont aussi
des Cls [P 24, 58]; done, si la P a. est vraie (cat6goriquement [52],
c'est-a-dire quelles que soient les Cls a, b, c,...), aussi la Pyu' doit
etre v)raie; par suite, aussi la P p, correlative de a., doit etre vraie;
car, pour ce que je viens de dire, elle est egale a la P /.
118. La loi de dualite est done un moyen sur depreuve et un moyen
aussi puissant que facile de decouverte; car, si d'une maniere quelconque on parvient a demontrer une P du type considere [110], la
ve'rit de sa correlative doit etre admise ipso facto (et d'ailleurs sa
demonstration ne serait aLtre chose que le raisonnement correlctif
de celui qui aurait servi a demontrer la premiere P).
119. Nous savons que les P a double role sont celles dans lesquelles,
outre que des variables et des signes de ponctuitiion. on trouve seulement les symboles
et nous savons aussi que ces P sont susceptibles de dualilt [110].
Remarquons a ce point qu'on pourrait considerer comme P c
double role memes celles dans lesquelles on rencontre aussi des formules cu type ( a - A )) ou bien ((a V )); pourvu que (au moment
de considerer que a dcsigne une condition par rapport a x, au lieu
d'une Cls) on remplace ces formules par ( (x 3 a) A )) ou bien
( (x a )- V )) (car /, et (( V )), etant des lnows propres [37], ne
sont pas susceptibles de plusieurs roles 1).
Ainsi, par exemple, si a et b sont des conditions par rapport a
x, les P 70, 71 deviennent
1. L'avertissement n'est pas inutile, car on serait tente de donner un second
r6le mnme aux symboles, \/ V,, avec les significations respectives:
condition absutrde (ou condition jalais ver'ifiee, quelle que soit la valeur de la
variable) qu'on appelle aussi: /a.V'scte logique ou ibpossibilite logique; cooditioa illusoire (ou condition tozjozrss ve,;i/iee, quelle que soit la valeur de la
variable) qu'on appelle aussi: verite logique ou necessile logique.
Si l'on voulait representer ces idles par des symboles speciaux, il faudrait
done en employer de nouveaux (par ex., ( A, et (( v ); mais ce qui va suivre
[120] montre qu'on compliquerait les choses inutilement.