La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

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Maintenant, comme on peut transporter le signe (( -, 'lun
membre a lautre d'une egalit6 [P 96], on passe des P 103 et 104 aux
P 105 et 106, qu'on peut 6noncer ainsi:
( La reunion de deux Cls est le contraire de l'itersection de leurs
coniraires ) [P 105]; ( l'intersection de deux Cls est le contraire de
la reunion de leurs contraires ) [P 106]. Ainsi done la P 105 nous
donne une maniere d'exprimer une reunion par une inlersection et
la P 106 nous donne une maniere d'exprimer une intersection par
une reunion. D'ou il parait que, le signe ( - ) etant connu, on pourrait conserver un seul des signes ) et (( i, celui qu'on voudrait,
en se passant de lautre.
Ce n'est qu'une remarque de possibilite, car les deux signes consider6s sont si commodes qu'on ne saurait conseiller de renoncer a
aucun d'eux.
108. Comme exemple d'application de nos proce6ds id6ographiques,
je vais montrer comment de la verite des quatre P, dontje viens de
parler en supposant que a et b etaient des Cls, decoule celle des
memes P, en supposant qu'a et b soient des conditions par rapport
t une meme variable.
En effet, si x est cette variable, on pourra determiner [60] deux
Cls u et v telles que
x E -a x v = (1)
Comme u et v sont des Cls, elles verifient la P 103, c'est-i-dire
- ( t v) - (- u) r (- v)
En opirant sur les deux membres de cette igalit6 par 1'ecriture
x s ) [P 10], on obtient
x ~ - (Zi '- v) x ~ [(- u) ' (- v)]
Dans le second membre on peut distribuer l'ecriture ( x )) par
rapport an signe ( r\ ) [96]; on obtient ainsi
x - (u v-):: ) x ~- t. x.a - V
Puisque u et v sont des Cls, - (u r-, v) ), (< - u et (( - v, sont
aussi des Cls [P 14, 241; on peut done transposer partout les deux
signes ((s ) et ( - o [P 28], apres quoi on peut meme transposer
partout x et ( - ) [P 22]; on obtient
- [X E (U 6 v)]: V (X: U ).. (x V)
PADOA. 6