La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

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11 est it propos de rappeler ici que la P 28 [70] transforme la negation cl'u e applartenance dans l'af/irmatioIn d'une appartenance' par
suite, on peut meame transformer la neyation d'une egalite ou inclusion (trlansormees d'abord en appartenance) dans l'/airmation
d'une (appnrtenance, qu'apres on pourra transformer en) ecgalile ou
inclusion.
En r6sum e: les differentes relations logiques sont transformables
l'une dans l'autre et meme le caractere affirmatif ou ngatif' d'une
assertion n'est qu'une question de forme.
PROPRIETIT S SIIMPLIFICATIVE, COMTIMUTATIVE, ASSOCIATIVE
ET DISTRIBUTIVE DES OPERATIONS LOGIQUES
94. Nous appellerons (( signe c'opeatio.n ), ou simplement
( opleration ), tout signe qui, place entre deux objets a et b d'un
ensemble donne, designe un objet determina du mzeme ensemble; en
ajoutant que, parfois, le choix de a et de b, dans lensemble donne,
est assujetti a des restrictions.
Par ex., le signe ((, dans toutes ses acceptions, est un signe
d'operation; car, selon que a et b sont des nombres ou des longueurs
ou des angles ou des vitesses etc., l'ecriture <( a - b )) d6signe respectivement un nombre, une longueur, un angle, une vitesse, etc.
De meme pour le signe - ) (moins); sauf que, si l'on veut
s'occuper seulement des nombres et des grandeurs absolus, il faut
assujettir a et b i la restriction que a ne soit pas plus petit que b.
Notre ideographie logique a deum signes d'operations, savoir ((.,
[39, 67] et ((,, [39, 63] (puisque je ne m'occupe plus du signe ( o
[73]); car, selon qu'ils sont places entre deux Cls ou deux conditions,
ils donnent naissance a une Cls (la reuniion ou l'intersection des Cls
donnees) ou a une condition l'affirmation allerne ou simultance des
conditions donnees).
Tons les deux, et dans le double rle de chacun, ils ont des proprietes analogues a celles des signes (( + ) et (( X, ainsi que
l'avaient remarqu6 Leibniz et ses disciples [49,68]; en effet, les deux
operations logiques ont la propriete commutative:
7 2. a v, b b 7b3. a a b b b ^ a
et la propriete associative
74. (a - b) v c = a (b, c) 75. (a ^ b) ^ c =a (b, c)