La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

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celle entre larithmteique et l'algebre) correspond exactement a
celle que je viens de faire entre P et conditions.
Voici, par ex., des ideiites:
49- 4 — 9 X a -b — b-a
dans la premiere desquelles il n'y a que des symboles constants,
tandis que dans la seconde il y a aussi les variables a et b, mais qui
sont des variables apparentes (si dans le traite on a declare, une fois
pour toutes, que chaque leltre a, b, c,... repr6sente un nombre);
tandis que
4x -- 3 11
est une equation, dont x est la variable reelle, qui est vetifiee seulement si x vaut 2 1.
Cette distinction mathematique correspond done exactement a la
distinction logique que je viens d'expliquer; mais celle-ci est bien
plus generale, car elle s'etend a des ecritures pouvant avoir une
forme quelconque (et pas seulement d'egalite) et a des variables
pouvant avoir des interpre)tations quelconques (et pas seulement des
nombres).
IMPLICATIONS
54. D)eux conditions par rapport a une meme variable x etant
donnees [52], il peut arriver que, toutes les fois que la premiere est
ve6if/ie par une interprtlation de x, la secocde aussi se trouve verifiee
par la meme interpreltation de x. En ce cas, nous dirons que la premiire condition 'implique la seconde.
Par ex., (( x S poisson, implique ( x ~ vertebr6e (8)
La signification precise que nous donnons a cette 6criture est
celle-ci:
( x n'est pas un poisson )) ou bien ( x est un vert6br6e (9)
On peut repeter pour la (9) ce que nous avons dit au sujet de
la (5) [51]; par suite x, qui est une variable reelle [52] dans chacune
des conditions ( x e poisson ) et ( x ~ vertebre ), est une variable
1. Celles qui, dans le langage algebrique, sont appelees les inconnues d'une
equation, ne sont que ses variables reelles; ses solutions ou racines ne sont que
les interpretations des variables reelles, qui transforment l'equation en une identite (savoir la condition, en une P).