Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.98

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wozu noch ein additives Glied tritt, das er im folgenden gleich
Null setzt.
X und Y sind hierbei die Anfangskoordinatein, x und y die Koordinaten zur Zeit t, a die Lu~nge der Saite und H eine bekannte
konstante GrolBe. Lagrange bemerkt hierzu, daB das Zeichenjf
nur emn Suinmenzeichen sei, sagt aber fast unmittelbar darauf, dab
die Integrationen bei variabein X, Y und konstanten x, t auszufifhren
seien. Wesentlich ist nun, daB Lagrange die Reihe unter dein
Integraizeichen nicht etwa gliedweise integriert, sondern vor der
Integration diese Reihe zu surnmieren sucht, da er fair y nicht eine
unendliche Reihe, sondern die schon bekannte Form mit zwei willktirlichen Funktionen erhalten will. Zu diesem Zweck wird der Ausdruck 2 sin 7-_x Cos _-in bekannter Wes dureh die Summe
2a '211
zweier Sinus ersetzt; es ergibt sich:
/dx Ysin z7itX >< sin r + t mH
~~~ ~~2a 2 1
Cos (\ aTJ CO 2a
rdx Ysin z>< sin -~l -~
~ 2aI 7CsZ2 osX
Da m unendlich groBi ist, heiBt es weiter, wird, was auch x und
t sein m~gen, nt ~ +Ht) immer eine ganze Zahi, der Sinus davon
und foiglich die betreffenden Integrale Null sein. Eine Ausnalime
tritt nur emn, wenn gleichzeitig der Nenner Null wird; den Wert von
0 bestirnmt Lagrange dureli Differentiation von Zdhler und Nenner
0
und kommt schlieBlich zum gesuchten aligemeinen Integral. Die ganze
umstiindliche Ableitung des bekaunten Resultats hat er hauptsuichlich
unternommen, urn zu zeigen, daB es sich ohne alle Voraussetzungeii
Uiber die Natur der darin auftretenaden willkilrlichen Funktionen gewinnen luBt; die Schwiichen seiner Methode und insbesondere des benutzten Grenzabergan gs hat neben and eren d'AlI e m b e r t klar gestellt 1)
Noch ist zn bemerken, daB Splitere aus Geh'a'ssigkeit gegeii Fourier
1)i~esonders in versehiedenen Bemerkungen im 1. und 5. Band seiner
(puscules matht~matiques. Man vgl. iibrigeins noch Riemann, Partielle Differentialgliechungen, bearb. von K. H a t teu ( o rf 1869, S. 200, und R ei f f, Geschichte
der unendlichen Refihen 1889, S. 132.