Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV11.

ergibt; das Resultat dieser Elimination wird eine Gleichung zwischeii
x, y und n wilikifrijehen Konstanten sein. Eine elegante Methode
fflr partielle Gleichungen 2. Ordnung, die auf Beriihrungstransformationen berulit, werden wir bei Legendre (vgrl. S. 1013) antreffen.
Von den partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung
mit drei Yariabein wurde zuerst die Gleichung der Saitenschwingungen behandelt. Im vorigen B~ande sind. bereits die Bemfihuugen
versohiedener Mathematiker um diese Gleichung gesehildert; hier ist
Lagrange zu nennen, der in den Abhandlungen der Turiner Akademie der Natmr und Fortpflanazung des Schalles zwei eingehende
Untersuchungen widmet und an das erw~hnte Problem von vornherein
mit der ganz bestimmten Absicht herangelit, Eulers Auffassung von
der Natur der willktirlieben Funktionen einwandfrei zu beweisen. Bei
dieser Gelegenheit hat Lagrange Ausdriicke aufgestellt, welelie mit den
Formein fuir die Koeffizienten. einer Four i e r shen Reihe itbereinstimmen, was zu. der Bebauptung Veranlassung gegeben hat, L agrange habe bereits die Theorie der Fouriersehen Reihe besessen;
in Wirkilelikeit ist die La gra ngesche Entwieklung prinzipiell davon
versehieden; man k~nnte sie eher als eine Formel zur Interpolation
durch trigonometrisehe Funktionen auffassen. Lagrange geht aus
von einem. Simultansystem 1), das wir ktirzer in die Gleichung
(It':= (y-i 1) - 2 y(i) +y )
zusainmenfassen k5n-nen, wenn i von 1 bis m - 1 liuft und y(O) und
y~m) beide Null sind; diese Gleichuingen stellen die Schwingungen
einer endlichen Zahl von Massenpunkten dar. Die Integration wird.
nach der d 'Ale mb ertschen Metbode fMr derartige Simultansysteme
mit Hillfe unbestimmnter Multiplikatoren bewerkstelligt, dabei gehen
auch die. Gescbwindigkeiten in die Rechnung emn. Nach ziemlich
weitliiufigen Rechnungen ergibt sich endlich ffur die Koordinate y(')
des ttpen Massenpunktes emn komplizierter Ausdruek 2), der liberdies
von den Anfangsbedingungen abhiingig ist. Aus dieser Formel erhiilt
Lagrange8), indem er die Zahl der schwirigenden Punkte unendlich
groB annimmt,
2 fdx ( sin 72% < sin 7-x Cos Z~ft
y ~~~2a 2a 2T
+ sin — __>< sin 2~x X co -t
2a 2a 2 T
1)Miscellanea Taurinensia, t. 18 (1759), p. 26. 2) Ebenda, p. 44.
8)Ebenda, p. 56.