Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differeutialgleichungen.98

983

unmittelbar
V dL + eVdM+ avdN
Man erkennt leicht die Delinition der Bertihrungstransformationen
wieder, wie sie Lie fMr den dreidimensionalen Raum beim'Bestehen
einer einzigen Relation zwisehen urspriinglichen und transformierten
Koordinaten aufstellt; nur hat L ie noch zwei weitere Ausdriicke p1
und q,, die, wenn L, Ml NV bzw. den Variabein x, y, z entsprechen,
in der Mongeselien Schreibweise durch die Gleichungen
- + pi 4) und,-+q =
definiert wiaren. Doeb fehit Monge die Vorstellung, daB es sich bei
seiner Methode urn eine Transformation bandelt; urn so mehr fehit
natfirlich die Kenutnis der geometrischen Eigentiimlichkeit dieser
Transformation, die den Namen Berflhrungstransformation veranlal~t
hat. Monge wendet seine Theorie audi auf totale Gleichungen a-n
und integriert mit ilir die ailgemeinen Gleicmungstypen
E Ip, (y -px = () tn d F(Lx - / (+ h{~
Sucht man zwei Funktionen i/l und N von x, y und p == dx Von
der Art, dafB aus der einen der beiden Gleichungen diff= U und
dN =- 0 audi. die andere folgt, so hat man nach M1o n g e eine
Fnnktion V von x, y und zwei Paranietern zu nelimen und aus
V == 0 und a' V =- 0 die zwei Parameter zu berechnen. Die ailgemeine
Theorie ist in folgendem. Theorem enthalten'): Sind n Grd~en M, X'N,
P, Q preebe, die sich aus x, (ldy dp1 I (lq
bis zu den Differentialquotienten (n - 1)ter Ordnunug einschlielflich zusammensetzen, und folgen aus einer einzigen der Gleichungen
dMll ---0, d N==0, d P -= 0 d Q ==0,...
alle iibrigein, so wird eine totale Differentialgleichung (n - 1)t,3 Ordnung F (il, XN, P, 9,..) 0 zum endlichen und vollstiindigen Integral die Gleichung besitzen, die sich dureb Elimination der n -I
Gr6JBen p, q, r,... und einer der willkiirlichen Konstanten a, b, c, (4..
aus den n + 1 Gleichungen
]II==a; INV= b; P =c=; == d;.,F(a, b, e, a',.

1) Histoire de 1'Acad~mie des Sciences 1 784 (1787)7 p. 189.