Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVII.

in dem. niimlichen Bande der Pariser Memoirein.') Monge weist endlich darauf hin, daB hierbei die Funktion F auch willkfirliche Funktionen enthalten darf, d. h. daB die gegebene Differentialgicichung
Integral einer Gleichung hbiherer Ordnung sein kann.
Im. folgen den 2 ) steilt Mon ge die iiuBerst wiclitige Behauptung
auf: Es gibt keine partielle Differentialgleichung 1. Ordnung, welehe
naicht auf die betrachtete Form zuriiekftihrbar und nieht nach der
angegebenen Methode integrierbar wiaire,7 wenn man nur einen Prozeb
hiitte, die GrdBen L, 11, N, P,... aufzu~flnden; aber ihre Aufsuchung,
f Uhrt M on g e fort, bringt im, aligemei-nen ebenso grol~e Sehwierigkeiten
mit sich als die Integration der partiellen iDifferentialgleichungen
selbst 'I); und der Inhalt der letzten Ausfillirungen kann nur in selir
sJpeziellen FMillen niitzlieh werden; dess enungeachtet ist die Anzahl
von solehen Systemen L, IllX, V P,... unendlich groB. Naclidem, er
noch zwei Beispiele von Wertetripein L, M, N gebraclit hat, steilt
er siciP4) die, Aufgabe, a priori emn System von drei Gr6Jen L, M, N
zn. finden, welehe, aus xc, y,;, p und q zusammengesetzt, die Eigenschaft haben,,,daB eine -beliebige von ihuien eine Funktion der beiden
anderen ist". Man nehime, heil~t es, eine beliebige Gleichung V 0
d V
zwischen xc, y, z und drei Parametern, und berechne aus ilir und 0 (
(IX
d V
und _~Y=_ 0 die, Werte dieser drei Parameter, so werden diese die verIangte Eigensehaft besitzen, d. h. werden. die totalen Differentiale von
zweien derselben gleich Null gesetzt, so wird auch dasjenige des
dritten Parameters gleich Null. Monge gibt kein Beispie15) und
auch keinen Beweis fMr seine Behauptung; indessen folgt, wenn wir
die erwihnten Parameter L, 11 und N nennen, aus den drei Gleichungen
dx ~- d + dz + ILdL + (Md + Nd = —0:
d V a V.3 V a V T-.V
mit BerUcksichtigung von
dz ==pdx -V qdy
') Histoire de 1'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 557. M on ge bringt
als Beispiel die Verallgemeinerung eines schon von L agr an ge behandelte-n
Falles. 2) Ebenda, p. 183. '1) Mais cette recherche comnporte en ge'n~ral
des difficulte's aussi grandes que celles du calcul int~graI des equations aux
diff~rences partielles. 4) ilistoire de 1'Aead~mie des Sciences 1784 (1787),
p. 185. f") In dem obigen Beispiel war offenbar

V= (x -L) + (y - -M) + (z -N)2 -h2 =O

zu Betzen.