Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVIL

gleichungen V == a, U = b und. I == c mit den Inte-grationskonstanten
a, b, c bilden,,,so driieken diese drei Integrale zusamnmen (simultane'es)
dasselbe aus wie die vorgelegte Differentialgieichung: sic bedeuten
nicht, daB die Gr~1en J7 U, W jede einzeln konstant sind, sondern
daB, sobald. eine davon konstant ist, auch die beiden anderen es riotwendig sind, oder daB diese eine von ihuen eine willkiiriehe Funktion
der beiden anderen ist; demnach bedeutet die Gleichung
V =cT(U & IF)
dasselbe wie die gegebene Differentialgleicbung und bildet ilir vollst'indige s Integral." Mit der Begriindung:,,Es ist leicht zu. sehen, daB
die ailgemelire lineare Gleichung mit beliebig vielen Variablen sich
gerade so und mit Hilfe einer iihnlichen. Uberlegfungg behandein Iiift",
gibt Monge sodann kurz die entspreehende Integrationstheorie.
Hier sei angeftihfrt, was derselbe Autor Uiber die nichtlineare
Gleichung sagt. Die diesbezllglichen Ausfifihiungen sind im AnsehluB
an die analogen Untersuchungen fiber totale Gleichungeit h~$heren
Grades gemacht (vgl. S. 940); Mo nge findet'), daB eine partielle,
Differentialgleichung nur dann nichilinear sein kann, wenn 1. die
willkiirlichen Funktionen im, Integral in versehiedenen Potenzen vorkommen, oder 2. wenn die Argrumente dieser Funktionen 'nicht unmittelbar, son dern durch weitere Gleichungen gegeben sind, in denen
sie wledler als Argumente willkflrlicher Funktionen und zwar nicht
alle linear auftreten. Wenn man nun, sagt M onge im. folgenden, in
der Integralgleichung die versehiedenen Potenzen der niimlichen Gr6BIe,
dureli deren Elimination die niclitlineare Differentialgleichunag entstehit, als
ebensoviele versehiedene GriiBen auffaBt und eliminiert, so wird die
jetzt entstehende Differentialgleichung linear sein. Ist die Integralgleichung selbst niclit gegeben, so bandelt es sich einfach darum,
aus der vorgelegten Differentialgleichung. hdheren Grades die entsprechende lineare Differentialgleiehung, die natiirlich hdherer Ordnuing sein wird als die ursprflngliche, herzuleiten.
Sei nun die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung IF = 0
gegeben, wo IF eine Funktion von x, y, z, p und. q ist. Durch Differentiation ergibt sich
Ad~p + Bdlq + CdIx + Ddy = 0,
wobei dz mittels dz ==pdx +qdy elirniniert gedacht ist. Monge
nim~mt nun willkiirlich an, es sei etwa
Cdx + Ddy =- 0;

1) Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1784 (17 87), p. 167.