Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen.97

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I' == a,, U =- b rind V == c di e Integrale dieser drei Gleichmiagen sind, so
ist V == 9p ([F, U) das allgemeine Integral der linearen Gleichung, d. li.
eine zweite Relation zwischen x, y, z, p rind q, die mit Z == 0 zusammen derartige Werte von p rind q liefert, daB die Gleichung
dz- ==pdx + qdy
eventuell mit Hulfe eines Multiplikators integrabel. wird. Manl schreibt
heutzutage seit Monge 1) etwas aligemeiner rind. fibersichtlieber
d~p d (q d z d dx d y
A+(Jp B +Cq Dp + EqD E
und wird. so arif eine Relation zwischen x, y, _,p uind. q gefifibrt die
neben Z =- 0 bestehit.
Auf die Behandlung der linearen Gleichung mit drei Variablen
dnrch Monge, die in einfachster Weise zu den Lagrangeschen
GleichUngen ftihlrt, sind. wir bereits eingegangren (vgl. S. 948).
Die lineare Gleichung mit beliebig vielen Variablena behandelt
Mon ge nach derselben Methode 2): Zuriickftihfrung auf totale Gleichungen mit Hilfe der Relationen, die partielle Differentialquotienten
rind. totale Differentiale rintereinander verbinden. Zunnichst ist arif
die Gleichung mit drei nnabhiaingigen. Variablen it, x, y rind der abhiingigen Veriinderlichen z eingegangen; bier ist
dz = da+ qdx + rdly.
Die Differentialgleicllung
Ap +Bq +Cr + D =0
verwandelt sich darn, je nachdem man eine der Grdfen p, q oder r
mit Hilfe des Ausdruckes ftir ds eliminiert, in eine der drei Gleichnngen
Adz + Ddu = q (Adx — Bdu) -F r (Ady - Cdu),
Bdz + Ddx = p (Adx — Bdu) + r (Bdy - Cdx),
C2db + Ddy =-p(Ady -~ Cdu) - q(Bdy - Cdx).
Diese Gleichunngen diirfen. die Gr6Ben p, q, r nicht bestimmen,
sondern mflssen unabblirtigig von ihnen gelten; durirl Nullsetzen ilirer
Koeffizienten erhiil M onig e seebs Gleichnngen, von weichen aber mur drei
wesentlich versehieden sind. Lassen sich aus diesem System oder
einem daraus hergeleiteten gleicliwertigen drei vollstiindige Integral') Application de l'analyse h~ la geometrie, Addition p. 437. 2) ilistoire,
de IlAeadedmie des Sciences 1781 (1787), p. 159.