Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen.97

Q 7.P
Q/ I I

dec und do3 enth~ilt, so kaun sie nur in der Art bestehen, daB dler
Koeffizient von do3, wenn man ftir x und y ihre Werte in a~, (3 und u
einsetzt, wie sie sichi aus A == a, B (30 ergehen, eine Funktion von
a und 03 allein ist, d. h. es muB3 nach ansgefffhirter Substitution u
von selbst herausfallein. Setzt man also diesen Koeffizienten gleich
einer beliebigen Funktion f(cc, (3), so gebt die Differentialgleichung
in die neue tiber
dc+ f (a, (3) d(3= O,
die sich immner in der Form
F~a j3=
inteogrieren lhit. Ersetzt man endlich, sagt Lagran ge, die llilfsvariabein a und (3 wieder durch ihre Werte iin x, y und u, so ergibt
sich das Integral
F (A, B) == 0,
und F wird eine beliebige Funktion sein, da f eine solehe ist. Lag ran ge fiahrt den analogen Beweis n och fMr den Fall von vier Veriinderlichen und weist darauf hin, daB er ffur noch melir Variable in iihnlicher Weise erledigt werden kann. Lagrange betrachtet sodann')
den speziellen Fall
du; du du
wo X, Y, Z,.. Funktionen der unabh~ingigen Variablen x, y, z,
allein, S und T von allen Variableni aul~er u sind. Das System
Xdu - (S + Tu) dx = 0; Ydu - (S + Tt) dy == 0;
Zdu -(S + Th)dz =O;..
liefert dann
Ydx -Xdy == 0; Zdx -Xdz =0;..
d. h. Gleichungen, in welehen u niclit melir vorkommt. Hieraus erhitit man die y, z,... durch x und die willkiirlichen Konstanten
(r,..ausgedriickt. Endlich ist
U _ ejX~~~dx
u - e x ~ X + a,
so daB man nach Substitution der eben berechneten Ausdrflcke ffur
y, z,... auch u durch x ausgedriickt erh~ilt.
An die Abhiandlungen von Lagrange aus den Jahren 1772 und

1) (Jeuvres de Lagrange, t. V, p. 6554.